Devoir de Mathématiques
(Exercice 82 p. 170 TransMath-Nathan)
On suppose que la suite des entiers naturels est écrite dans un tableau selon la disposition cidessous.
1

10

2

3

4

5

6

7

8

9

11

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13

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Objectif : préciser la position de 2001 dans le tableau
1. Etudions la position de ces nombres pour voir comment il est possible de repérer l'un deux.
Les nombres sont écrits en lignes et chaque ligne contient des cases. On peut donc repérer un nombre en disant : il est dans la ligne n et dans la p-ième case de celle-ci en partant de la gauche.
Par exemple, 14 est dans la 4ème ligne et dans la 5ème case en partant de 10.
Voyons comment sont disposées les cases par ligne : ligne 1, 1 case; ligne 2, 3 cases; ligne 3, 5 cases; ligne 4, 7 cases. Le nombre de cases par ligne augmente à chaque fois de 2.
Appelons un le nombre de cases à la n-ième ligne.
Que pouvez-vous dire de la suite (un) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Comme le nombre de cases par ligne augmente à chaque fois de 2, la suite (un) est une suite arithmétique de raison r = 2. Son premier terme est u1 = 1. On en déduit que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, un = u1 + (n – 1)r = 1 + 2(n – 1) = 2n – 1.
2. Continuons nos observations. Une ligne contient des nombres consécutifs. Donc pour savoir si un nombre est dans la ligne n, il suffit de savoir s'il est compris entre le premier et le dernier nombre de cette ligne. On note respectivement an et bn ces nombres.
a) Justifiez que a1 = b1, puis que an+1 = bn + 1 (n  1). Il suffit donc d'étudier la suite (bn).
Or b1 = 1, b2 = 4 = b1 + 3 car il y a trois cases dans la ligne 2.
La ligne 1 ne contient qu'une case, donc a1 = b1 = 1.
Le dernier nombre de la ligne n est bn; le nombre suivant, bn + 1 sera donc le premier nombre de la ligne suivante, soit an+1. On a donc bien an+1 = bn + 1.
b) Prouvez que bn = bn-1 + un et déduisez-en que bn = u1 + u2 + ... + un. bn-1 est le