ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires
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MATHEMATIQUES
Option économique Lundi 4 mai 2009 de 8h à 12h _____________
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1
Dans cet exercice, on considère la fonction f définie comme suit : x f (0) = 1, et pour tout x non nul de ] – , 1[, f (x) = (1  x ) ln(1  x ) 1) Montrer que f est continue sur ] – , 1[. 2) a) Déterminer le développement limité de ln (1 – x) à l’ordre 2 lorsque x est au voisinage de 0. 1 b) En déduire que f est dérivable en 0, puis vérifier que f ’ (0) = . 2 3) a) Montrer que f est dérivable sur ] – , 0[ et sur ]0, 1[, puis calculer f ’ (x) pour tout réel x élément de ] – , 0[  ]0, 1[. b) Déterminer le signe de la quantité ln(1– x) + x, lorsque x appartient à ] – , 1[, puis en déduire les variations de f. c) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, puis dresser son tableau de variation. 4) a) Établir que, pour tout n de IN*, il existe un seul réel de [0, 1[, noté un , tel que f (un) = n et donner la valeur de u1. b) Montrer que la suite (un) converge et que lim un = 1. n 1

Exercice 2
Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ).