Fonctions logarithme et exponentielle

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EXERCICES DE MATHEMATIQUES
(Extraits des épreuves terminales du Bac Pro)
FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE

Exercice 1 : France Métropolitaine – 1998 (6 points)

Un technicien a relevé les différents chiffres d'affaire d'agriculteurs en fonction de leur production annuelle :

|x : production en tonnes |7 |11 |19|30 |
|y : chiffre d'affaire en milliers de francs |2,33 |10,33 |39,24 |105,70 |

1) Il est possible d'écrire y = f (x) où l'expression de f est l'une d'est trois suivantes
a) f (x) = 3x – 2
b) f (x) = e 0,2x
c) f (x) = [pic]x2 – 2 ln x
Prouver que les deux premièresexpressions ne sont pas satisfaisantes, vu les chiffres d'affaires déjà obtenus.
2) Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que le chiffre d'affaires a pour expression f (x) = [pic]x2 – 2 ln x
Déterminer l'expression de la dérivée de f (x)
3) Montrer que, si x appartient à l'intervalle [3 ; 30] alors f ' (x) est strictement positif.
4) Interpréter le résultat précédent : quel estle sens de variation de f sur [3 ; 30].

Exercice 2 : Antilles, Guyane – 1999 (9 points)

Soit la fonction définie sur l'intervalle [0,1 ; 16] par :

f (x) = - x + 3 + 3 ln x

1) Déterminer la fonction dérivée de f et montrer que l'on a f ' (x) = [pic]
2) Déterminer le signe de f'(x) sur [0,1 ; 16] et en déduire le tableau de variation de f.
3) Compléter le tableau de valeurssuivant, en arrondissant les valeurs à 10-2 près :

|x |0,1 |1 |1,5 |2 |2,5 |3 |3,5 |
|N (t) | | | | | | | |

1) Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :f (t) = 10.e 0,6 t

a) Calculer f ’ (t) et montrer que f ’(t) > 0 pour tout t appartenant à [0 ; 6]
b) Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 6]
c) Tracer la représentation graphique de f dans un repère ortho normal d’unités graphiques :
- 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses
- 2 cm pour 100 faisans sur l’axe desordonnées

2) a) Quel était le nombre de faisans au début du comptage ?
b) Calculer le nombre d’années au bout desquelles on aura 200 faisans. (Donner une valeur approchée à l’unité près). Vérifier le résultat sur le graphique.

Exercice 6 : France Métropolitaine – 2000 (6 points)
Soit la fonction définie sur l’intervalle I = [[pic] ; 14] par :
f : x [pic]f(x) = - [pic]x + 2 ln x1) Déterminer la dérivée f ’ de f
2) Montrer que f ’ (x) est du signe de (-x + 4)
3) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variations de f sur I
4) Compléter le tableau de valeur suivant (on donnera les valeurs à 10-2 près)

|x |0,5 |1 |2 |3 |4 |5|
|f(x) | | | | | |1,1 |

1) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal
Unités graphiques : 1 cm pour 10 unités sur l’axe des abscisses
5 cm pour 1 unité sur l’axe des ordonnées

Deuxième partie : On dissout un médicamentdans l’eau. La quantité de médicament (exprimée en grammes), dissoute dans l’eau à l’issue d’un temps x (exprimé en minutes), est égale à f (x) où f est la fonction étudiée dans la première partie.

1) Calculer la quantité de médicament dissoute en une demi-heure. On donnera le résultat en décigrammes
2) Par lecture graphique, en faisant apparaître les constructions utiles, indiquer le...
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