UJF - Licence 3 de Physique Année 2009 / 2010

Travaux dirigés de cristallographie et diffraction des rayons X

Feuille de TD n°1 GROUPES PONCTUELS - corrigé

Exercice 1. a- Un cristal possédant la symétrie d'inversion ne peut pas être ferroélectique, car à chaque r r moment dipolaire électrique p correspond par symétrie un moment − p . La résultante vaudra donc toujours zéro (voir figure). r p r −p

b- Un axe d'ordre 2 n'inverse pas un moment dipolaire électrique qui lui est parallèle, mais il l'inverse dans le cas où il lui est perpendiculaire. Autrement dit, pour un moment dipolaire de direction quelconque, seule la résultante du moment dipolaire parallèle à l'axe 2 est non nulle (voir figure). En conclusion, un cristal possédant un axe 2 peut être ferroélectrique avec un moment dipolaire électrique parallèle à l'axe 2.

r p'

r p

r −p

Exercice 2. −1 0 0     0 −1 0   0 0 1   axe 2 // z

−1 0 0   1 0 0       0 −1 0  =  0 1 0   0 0 −1   0 0 −1      inversion miroir ⊥ z

Exercice 3.  cos θ − sin θ 0    • Rz (θ ) =  sin θ cos θ 0   0 0 1   

 1  • Rx (θ ) =  0  0 

  cos θ   cos θ − sin θ  , R y (θ ) =  0  − sin θ sin θ cos θ    0 0
1

0 1 0

sin θ   0  cos θ  

 0 −1 0   1 0 0   0 0 1        • Pour θ = 90° : Rz (90°) =  1 0 0  ; Rx (90°) =  0 0 − 1 ; R y (90°) =  0 1 0 ;  0 0 1  0 1 0   −1 0 0         1 0 0   0 0 1   0 0 1       • Rx (90°) × R y (90°) =  0 0 − 1  ×  0 1 0  =  1 0 0   0 1 0   −1 0 0   0 1 0       

x' = y, y' = z, z' = x

Il s'agit d'une rotation de 2π/3 autour de la direction x + y + z z axe 3

En effet, comme le montre la figure ci-contre (regarder depuis l'endroit où est représenté un œil sur la figure), une telle rotation transforme l'axe x en y, y en z, et z en x. x

y

• Ry

−1

 0 0 −1    (90°) = R y (−90°) =  0 1 0   1 0 0     0 0 −1   0 0 1   0 −1 0     