Planche no 23. Intégrales curvilignes. Intégrales multiples
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile

no 1 (**) :

Calculer l’ intégrale de la forme différentielle ω le long du contour orienté C dans les cas suivants : y x dx + 2 dy et C est l’arc de la parabole d’équation y2 = 2x + 1 joignant les points (0, −1) et (0, 1) 1) ω = 2 2 x +y x + y2 parcouru une fois dans le sens des y croissants. 2) ω = (x − y3 )dx + x3 dy et C est le cercle de centre O et de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct. π 3) ω = xyzdx et C est l’arc x = cos t, y = sin t, z = cos t sin t, t variant en croissant de 0 à . 2

no 2 (**) : Soit ω = x2 dx + y2 dy. Calculer l’intégrale de ω le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec ω = y2 dx + x2 dy. no 3 (**) : 1) I =
D

Calculer les intégrales multiples suivantes (x + y) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 / x |x + y| dxdy.
[−1,1]2

1, y

1, x + y

1}.

2) I = 3) I =
D

xy dxdy où D est la partie du plan limitée par les paraboles d’équations respectives y = x2 et x = y2 . x2 +y2

4) I =
1

5) I = x x2 +y2

1 dxdy. 1 + x2 + y2 dxdy . 2 2 2 1 (1 + x + y ) xyzdxdydz.

6) I =
0 x y z 1

7) I =
√ √ √ x+ y+ z 1

zdxdydz.
+∞

no 4 (*** I) :

(Un calcul de
0

sin x dx). x

1) r et R sont deux réels strictement positifs tels que r < R. On considère le contour Γ orienté suivant

−R

−r

r

R

Calculer l’intégrale de la forme différentielle ω= e−y ((x sin x − y cos x)dx + (x cos x + y sin x)dy) x2 + y2

c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

1

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le long de ce contour orienté.
R

2) En déduire r sin x dx en fonction d’une autre intégrale. x
+∞ 0

3) En faisant tendre r vers 0 et R vers +∞, déterminer la valeur de

sin x dx. x

no 5 (***) : Soient (p1 , p2 , q1 , q2 ) ∈]0, +∞[4 tel que p1 < p2 et q1 < q2 . Calculer l’aire du domaine D =