Université de Strasbourg
Licence MPA, L2–S4

Électromagnétisme
Année 2013–2014

TD 0
Analyse vectorielle — Rappels et compléments

Les exercices suivants ont pour but de vous rappeler et de mieux vous familiariser aux techniques de calcul vectoriel qui seront utilisées tout au long du cours. Les exercices ne seront pas discutés en cours, mais un corrigé sera mis à votre disposition en ligne.
(http://www-ipcms.u-strasbg.fr/spip.php?article2706).
Il est fortement recommandé de lire (au fur et à mesure que vous ferez les exercices) le chapitre 1 du livre de D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Addison-Wesley, 1999).
Celui-ci vous aidera grandement dans la résolution des exercices.

Exercice 0.1
(a) Montrez que le produit scalaire et le produit vectoriel sont distributifs.
?

(b) Le produit vectoriel est-il associatif ? [(A × B) × C = A × (B × C)]

Exercice 0.2
Déterminez l’angle entre les diagonales d’un cube.

Exercice 0.3
(a) Démontrez la règle « BAC-CAB » :
A × ( B × C ) = B ( A · C ) − C ( A · B ).
(b) En déduire que
A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0.

Exercice 0.4
Déterminez le vecteur η = r − r� séparant les points r� = (2, 8, 7) et r = (4, 6, 8). Déterminez la norme η = |η| et le vecteur unitaire ηˆ = η/η.

Exercice 0.5
Calculez le gradient des fonctions suivantes :
(a) f ( x, y, z) = x2 + y3 + z4 .
(b) f ( x, y, z) = x2 y3 z4 .
(c) f ( x, y, z) = ex sin y ln z.

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Exercice 0.6
L’altitude en un point ( x, y) d’une colline est donnée (en mètres) par
�
� h( x, y) = 10 2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y + 12 ,

où y est la distance (en kilomètres) par rapport au nord de Niederschaeffolsheim et x la distance par rapport au sud de ce même village.
(a) Où est situé le sommet de la colline ?
(b) Quelle est l’altitude de la colline ?
(c) Quelle est la raideur de la pente (en %) en un point 1 km au nord et 1 km à l’est de Niederschaeffolsheim ? Dans quelle direction la pente est-elle la plus raide,