À l'usage des élèves de la classe * /
 I G
(Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / )..
C
1 À la poursuite de celui qui détermine 1
I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.4 Déterminant …afficher plus de contenu…

Le calcul de f (xσ(1), xσ(2), · · · , xσ(n)) revient donc à appliquer successivement les transpositions, τ1,τ2, · · · ,τp aux vecteurs de la famille (x1, x2, · · · , xn ), à chaque transposition on multiplie par un facteur −1, ce qui fait qu'en dé nitive f (xσ(1), xσ(2), · · · , xσ(n)) = ε(σ) f (x1, x2, · · · , xn )
I. P: Soit f une forme n-linéaire de E. Soit B = (e1,e2, · · · ,en) de E.
Soit une famille de vecteurs (x1, x2, · · · , xn) de E.
On pose MatB(x1, x2, · · · , xn) = ( ai , j )i , j . Alors, f (x1, x2, · · · , xn) = f (e1,e2, · · · ,en)
∑
σ∈Sn ε(σ)a1,σ(1)a2,σ(2) · · ·an,σ(n)
.
D    (de la proposition I.1)
Par multilinéarité de f f (x1, x2, · · · , xn) = f
(
n∑ j1=1 a1, j1 e j1 , n∑ j2=1 a2, j2 e j2 , · · · , n∑ jn=1 an, jn e jn
)
= ∑
1É j1, j2,··· , jnÉn a1, j1 a2, j2 · · ·an, jn …afficher plus de contenu…

P 
P. Pour tout u ∈L (E) et pour toute base B = (e1,e2, · · · ,en) de E det(u) = detB
(
u(e1),u(e2), · · · ,u(en)
)
P. Pour tout u, v ∈L (E), det(u ◦ v) = det(u)det(v)
P. Pour tout u ∈L (E), u est inversible ⇐⇒ det(u) ̸= 0 et dans ce cas det(u−1) = 1 det(u) .I. D   § . À         
E   '    .
Soit u ∈L (E).
1. Montrer que l'application g dé nie pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En par g (x1, x2, · · · , xn ) = n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E
2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn )
I.4 Déterminant d'une matrice