Le mal

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La formule de Taylor et les développements limités
formule I) La formule de Taylor
1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral
On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Tayloravec reste intégral (ou reste de Laplace) :

Ce que l’on écrit habituellement :

Cette formule se démontre assez facilement par récurrence en utilisant l’intégration par parties. Pour on doit avoir l’égalité :

Or

La propriété est initialisée. On suppose qu’elle est vraie à l’ordre et l’on montre qu’elle est alors vraie à l’ordre bien sûr suppose implicitement que la fonction soit de classeOn a

Ce qui

On procède à une intégration par parties dans l’intégrale (les conditions d’une telle intégration étant vérifiées évidemment). On pose

Ce qui donne

On en déduit facilement que :

Ce qui montre bien l’hérédité.

2.2) Majoration du reste
Le reste intégral est très précis mais n’est pas très pratique quand il s’agit d'en estimer la valeur ou du moins d'en connaître unmajorant. On a pour tout compris entre et , On se place dans le cas où On a alors et donc

La fonction

étant continue sur tout intervalle tel que

de , elle est bornée et atteint ses bornes.

Il existe donc un nombre de On a donc

Or

On a enfin

Et donc

On a en valeur absolue

On présente souvent cette écriture sous d'autres formes. Posons tout d'abord

On a :

Or

PosonsOn a donc On a en définitive

Et donc

On pose souvent On en déduit que

Dans le cas particulier où

on a :

On démontre et nous admettrons ici que ces formules restent vraies si changement de variable par exemple).

(on peut procéder par

II) Développements limités
2.1) Position du problème
Considérons une fonction contenant ). On sait que dérivable au voisinage d'un point(c'est-à-dire dans un intervalle ouvert

Appelons ε la fonction défini dans un voisinage de 0 par :

D'après le calcul précédent, on a Or on peut écrire : Et donc

Cette formule est vraie pour toute fonction dérivable au voisinage d'un point Comparons-la avec la formule de Taylor quand (en supposant évidemment que la fonction est maintenant de classe

Nous retrouvons en partie l'écritureprécédente. Nous avons vu également que

Or vers

, et la fonction On a donc

est continue, donc quand

tend vers

tend aussi vers

et

tend

Et donc Ce que nous savions. Mais on peut faire un peu mieux en divisant les deux membres par

Le quotient de valeurs absolues est égal à la valeur absolue du quotient :

Donc

Et donc

Cette fois-ci, on a

Et donc

Si l'on pose

Onretrouve bien

Si maintenant la fonction

est de classe

on a par la formule de Taylor :

On a aussi

On a comme dans le calcul précédent :

Ce qui donne

Or

Donc

Posons

On a On a donc :

La formule de Taylor a permis de généraliser la formule obtenue par la dérivée : nous avions au départ un polynôme de degré 1 en Nous avons obtenu par l'application de la formule deTaylor à l'ordre 2, un polynôme de degré 2 en Nous pouvons maintenant donner la définition générale d'un développement limité.

2.2) Développement limité
Soit un nombre réel, et une fonction définie dans un voisinage de On dit que admet un développement limité d’ordre en pour signifier qu’il existe un polynôme de degré et une fonction de limite nulle quand tend vers tels que

La définitionimplique que si admet un développement limité d’ordre elle admet un développement limité d’ordre inférieur à Le polynôme est de degré il appartient donc à est un espace vectoriel de dimension La famille de polynômes définis par pour est une famille libre de Considérons Posons On a Si alors réels : tels que

Nous avons dit qu’un polynôme de degré quand il n’est pas nul ne peut prendre la valeur 0...
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