La formule de Taylor et les développements limités formule I) La formule de Taylor
1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral
On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) :

Ce que l’on écrit habituellement :

Cette formule se démontre assez facilement par récurrence en utilisant l’intégration par parties. Pour on doit avoir l’égalité :

Or

La propriété est initialisée. On suppose qu’elle est vraie à l’ordre et l’on montre qu’elle est alors vraie à l’ordre bien sûr suppose implicitement que la fonction soit de classe On a

Ce qui

On procède à une intégration par parties dans l’intégrale (les conditions d’une telle intégration étant vérifiées évidemment). On pose

Ce qui donne

On en déduit facilement que :

Ce qui montre bien l’hérédité.

2.2) Majoration du reste
Le reste intégral est très précis mais n’est pas très pratique quand il s’agit d'en estimer la valeur ou du moins d'en connaître un majorant. On a pour tout compris entre et , On se place dans le cas où On a alors et donc

La fonction

étant continue sur tout intervalle tel que

de , elle est bornée et atteint ses bornes.

Il existe donc un nombre de On a donc

Or

On a enfin

Et donc

On a en valeur absolue

On présente souvent cette écriture sous d'autres formes. Posons tout d'abord

On a :

Or

Posons

On a donc On a en définitive

Et donc

On pose souvent On en déduit que

Dans le cas particulier où

on a :

On démontre et nous admettrons ici que ces formules restent vraies si changement de variable par exemple).

(on peut procéder par

II) Développements limités
2.1) Position du problème
Considérons une fonction contenant ). On sait que dérivable au voisinage d'un point