Espaces vectoriels norm´s e

Table des mati`res e
A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e
I. Normes
1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 5 7

II. D´finitions ensemblistes e
1) Boules, parties born´es . . . . . . . e 2) Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Ouverts et ferm´s . . . . . . . . . . e 4) Int´rieur, adh´rence, fronti`re . . e e e 5) Topologie induite sur une partie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15 16 17 20

B. Suites et s´ries dans les evn e
I. Convergence d’une suite
1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas d’un evn produit et de la dimension finie . . . . . . . . . . . 3) Caract´risation de l’adh´rence et des ferm´s . . . . . . . . . . . . e e e 22 23 24

II. Suites de Cauchy, compl´tude e
1) Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Espaces et parties complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Compl´tude des evn de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . e 25 25 26

III. S´ries e
1) G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2) Crit`re de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3) S´ries g´om´trique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 27 28 28

Espaces vectoriels norm´s e

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IV. Suites extraites, compacit´ e
1) Valeurs d’adh´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Parties compactes d’un evn . . . . . . . . . . . . . .