Le model de ramsey

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Chapitre III La croissance optimale : Le modèle de Ramsey

Introduction
1
1.1

Hypothèses Hypothèses de base
dLt ˙ = Lt = nLt dt ⇒ Lt = L0 ent
- Normalisation - Pas de

 Croissance de la population au sein d'un ménage

(1)

 Pas de

H = 1, L0 = 1 progrès technique (g = 0) dépréciation du capital (δ = 0)

1.2

Raisonner en variables par tête
yt ≡ Yt /Lt kt ≡ Kt /Lt ct ≡ Ct/Lt
produit par tête capital par tête consommation par tête

On note :

1.3

Fonction et facteurs de production
- La fonction de production est notée

Yt = F (Kt , HLt )
1

-

F est à rendements d'échelle constants H ménages (H = 1) En notations intensives : f (kt ) ≡ F (Kt /Lt , 1) f (.) strictement concave, respecte les conditions f (0) = 0 f (0) = ∞

d'Inada :

f (∞) = 0- Hypothèse :

k0 > 0

1.4

Fonction d'utilité des ménages
- Fonction d'utilité intertemporelle d'un ménage :

U=
-



e−ρt u(ct )dt
0

ρ

= le taux de préférence pour le présent

1.5

La condition de ressources de l'économie
- Pas de gouvernement - Equilibre du marché du bien :

˙ Yt = Ct + It = Ct + Kt
avec

(2)

˙ Kt =

dKt dt

- Pour la transformer ennotations intensives, diviser par

Lt

sachant que

Kt = kt Lt dKt dkt dLt = Lt + kt dt dt dt dkt dLt 1 ˙ Kt = Lt + kt dt dt Lt ˙ ˙ Kt = Lt kt + nkt
- En utilisant le résultat précédent dans l'équation (2) divisée par

Lt

:

˙ yt = ct + kt + nkt
soit

˙ kt = f (kt ) − ct − nkt
2

(3)

2
2.1

Le programme du planicateur Résolution
- Son programme :

max U0 =
ct
sous lacontrainte de l'équation (3)



u(ct )e−ρt dt
0

(4)

- On dénit le Hamiltonien du problème

Ht = u(ct)e−ρt + µt [f (kt) − nkt − ct]
∗ ∗
avec

(5)

µt

le multiplicateur adjoint à la contrainte (3)

On dénit

λt ≡ µt eρt
- Les conditions nécessaires d'optimalité sont :

(6)

t→∞

∂ Ht = 0 ∂ct ∂ Ht = −µt ˙ ∂kt lim kt µt = 0

- En utilisant l'équation (27),l'équation (6) et

˙ µt = λt e−ρt − ρλt e−ρt ˙
les CPO se réécrivent :

t→∞
- Soit :

u (ct ) = λt ˙ λt = λt [ρ + n − f (kt )] lim kt u (ct )e−ρt = 0 du (ct )/dt = ρ + n − f (kt ) u( ct ) lim kt u (ct )e−ρt = 0
3

(7) (8)

t→∞

2.2

Interpretation
- L'équation (7) peut se réécrire

ct u (ct ) dct /dt = ρ + n − f (kt ) u (ct ) ct
- avec

ct u (ct ) u (ct )

= degré de courburede la fonction d'utilité

- Lié à l'élasticité de substitution intertemporelle de la consommation

σ(ct ) :

σ(ct ) = −

u (ct ) u (ct )ct

- L'équation (7) se réécrit alors

ct ˙ = σ(ct ) [f (kt ) − ρ − n] ct
- Solution optimale : donnée par les équations (30) et (9)

(9)

(a) La condition de Keynes Ramsey (équation (9))
raisonnement en temps discret - On part d'un prol deconsommation constant - Diminution de la consommation par tête d'un montant perte d'utilité

Interprétation :

dct

à la date

t

et

dct < 0 ⇒ u (ct )dct
- Unité de bien consommée en moins en de capital - Ce qui rapporte consommation

t

= épargnée et investie sous forme

f (k) unités en t + 1.

de biens en

t + 1,

permettant davantage de

- Etant donnée la croissancedémographique, la consommation par tête en

t+1

peut être augmentée de



1 + f (kt ) dct 1+n

4

- Ceci conduit à un gain en termes d'utilité de



1 + f (kt ) u (ct+1 )dct 1+n 1 1 + f (kt ) u (ct+1 ) 1+ρ 1+n
(10)

- Sur la trajectoire optimale :

u (ct ) =
Ce qui se réécrit :

u (ct+1 ) (1 + n) = u (ct ) 1 + f (kt )

- Si l'intervalle de temps entre deux dates estsusamment court (passage au temps continu), alors l'équation (10) tend vers la règle de Keynes-Ramsey (équation (9)). Règle de Keynes-Ramsey : le taux de croissance optimal de la consommation par tête dépend de l'écart entre

f (k)

et (n

+ ρ). f (k) > n + ρ

- Prol optimal de consommation par tête est croissant si

c/c > 0 ˙

si

f (k) > n + ρ f (k) < n + ρ

- Prol optimal de...
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