Chapitre III La croissance optimale : Le modèle de Ramsey

Introduction
1
1.1

Hypothèses Hypothèses de base dLt ˙ = Lt = nLt dt ⇒ Lt = L0 ent
- Normalisation - Pas de

 Croissance de la population au sein d'un ménage

(1)

 Pas de

H = 1, L0 = 1 progrès technique (g = 0) dépréciation du capital (δ = 0)

1.2

Raisonner en variables par tête yt ≡ Yt /Lt kt ≡ Kt /Lt ct ≡ Ct /Lt produit par tête capital par tête consommation par tête

On note :

1.3

Fonction et facteurs de production
- La fonction de production est notée

Yt = F (Kt , HLt )
1

-

F est à rendements d'échelle constants H ménages (H = 1) En notations intensives : f (kt ) ≡ F (Kt /Lt , 1) f (.) strictement concave, respecte les conditions f (0) = 0 f (0) = ∞

d'Inada :

f (∞) = 0

- Hypothèse :

k0 > 0

1.4

Fonction d'utilité des ménages
- Fonction d'utilité intertemporelle d'un ménage :

U=
-

∞

e−ρt u(ct )dt
0

ρ

= le taux de préférence pour le présent

1.5

La condition de ressources de l'économie
- Pas de gouvernement - Equilibre du marché du bien :

˙ Yt = Ct + It = Ct + Kt avec (2)

˙ Kt =

dKt dt

- Pour la transformer en notations intensives, diviser par

Lt

sachant que

Kt = kt Lt dKt dkt dLt = Lt + kt dt dt dt dkt dLt 1 ˙ Kt = Lt + kt dt dt Lt ˙ ˙ Kt = Lt kt + nkt
- En utilisant le résultat précédent dans l'équation (2) divisée par

Lt

:

˙ yt = ct + kt + nkt soit ˙ kt = f (kt ) − ct − nkt
2

(3)

2
2.1

Le programme du planicateur Résolution
- Son programme :

max U0 = ct sous la contrainte de l'équation (3)

∞

u(ct )e−ρt dt
0

(4)

- On dénit le Hamiltonien du problème

Ht = u(ct)e−ρt + µt [f (kt) − nkt − ct]
∗ ∗ avec (5)

µt

le multiplicateur adjoint à la contrainte (3)

On dénit

λt ≡ µt eρt
- Les conditions nécessaires d'optimalité sont :

(6)

t→∞

∂ Ht = 0 ∂ct ∂ Ht = −µt ˙ ∂kt lim kt µt = 0

- En utilisant l'équation (27), l'équation