ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Éducation Nationale Ministère de l’Enseignement et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Concours National Commun d’Admission aux
Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I
Durée 4 heures
Concours TSI
Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interditConcours National Commun – Session 2003 – TSI
L’énoncé de cette épreuve, …afficher plus de contenu…

Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat d’une question non résolue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.
EXERCICE
On considère la fonction f : t 7→ e−t2 et, pour x ∈ R, on pose f̂(x) =
∫ +∞
−∞
e−ixtf(t) dt.
1. Montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞
f(t) dt est convergente et en déduire que, pour tout réel x, f̂(x) a un sens.
2. Montrer que f̂ est dérivable sur R et qu’elle satisfait l’équation différentielle y′ + x 2 y = 0. (1)
3. Résoudre l’équation différentielle (1) et donner l’expression de f̂ en admettant que∫ +∞
−∞
f(t) dt =
√
π.
PROBLÈME 1
Dans ce problème, g désigne la fonction définie sur R par g(t) =
1
ch t …afficher plus de contenu…

3. Soit f ∈ C2(R2) une solution de (I).
(a) Calculer
∂f∗
∂u
, puis
∂2f∗
∂v∂u
.
(b) En déduire que f est de la forme f : (x, t) 7→ F (x− ct) + G(x + ct) où F et G sont deux éléments quelconque de C2(R).
4. Soit ϕ un élément de C2(R). Montrer qu’il existe un unique élément f de C2(R2), solution de
(I), que l’on exprimera en fonction de ϕ, satisfaisant aux conditions initiales suivantes :
(1)
{ ∀ x ∈ R, f(x, 0) = ϕ(x) (position initiale au temps t = 0)
∀ x ∈ R,
∂f
∂t
(x, 0) = 0 (corde au repos au temps t = 0)
B- Solutions stationnaires vérifiant des conditions aux limites
Une solution f de (I) est dite stationnaire s’il existe deux fonctions g et h de C2(R) telles que
∀ (x, t) ∈ R2, f(x, t) =