© 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre.

ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES
PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étude exhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant les parties d'un ensemble E, on note : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B) A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B) A = {x | x ∉ A} (complémentaire de A) On prouvera en exercices les règles usuelles suivantes : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A⊂B⇔ A∩ B⊂

A -1-

B

Ces règles s'appliquent à une réunion ou une intersection quelconque, finie ou non. Si I désigne un ensemble quelconque d'indices, on pose : x ∈ ∪ Ai ⇔ ∃ i, x ∈ Ai (x est dans l'un des Ai. ∃ signifie "il existe")