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ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES
PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partielc) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étudeexhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant les parties d'un ensemble E, on note : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B) A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B) A = {x | x ∉ A} (complémentaire de A) On prouvera en exercicesles règles usuelles suivantes : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A⊂B⇔ A∩ B⊂
A -1-
B
Ces règles s'appliquent à une réunion ou une intersection quelconque, finie ou non. Si I désigne un ensemble quelconque d'indices, on pose : x ∈ ∪ Ai ⇔ ∃ i, x ∈ Ai (x est dans l'un des Ai. ∃ signifie "il existe")i∈I x ∈ ∩ Ai ⇔ ∀ i, x ∈ Ai i∈I EXEMPLE :
n∈
(x est dans tous les Ai. ∀ signifie "quel que soit")
1 ∪ [ , 1] = ]0,1]. * n
1 1 ∩ [1 – , 1] = {1}, alors que ∩ [1 – , 1[ = ∅ n∈ * n∈ * n n ∅ désigne l'ensemble vide, ne possédant aucun élément. ii) On appelle différence de A et B la partie notée A – B (ou A \ B) définie par {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B}. On a A – B = A ∩ B. iii) Toutes les parties deE, depuis l'ensemble vide ∅ jusqu'à E lui–même, forment un ensemble appelée ensemble des parties de E et notées (E). Si E possède n éléments, (E) en possède 2n. En effet, pour définir une partie A de E, il suffit de choisir si chaque élément de E appartient ou non à A, ce qui fait 2n choix possibles (deux choix possibles par élément : il est dans A ou il n'est pas dans A). Le nombre d'éléments d'unensemble s'appelle son cardinal. On a donc : Card (E) = 2Card(E) iv) Etant donné deux ensembles E et F, on note E × F l'ensemble des couples (x, y), où x est élément de E et y élément de F. Par exemple, l'ensemble des couples de réels est noté × , ou 2. L'ensemble des n–uplets ou n–listes (x1, x2, ..., xn) d'éléments de E est noté En. L'ensemble des suites (xi)i∈I d'éléments de E, indicées par unensemble I fini ou non, est noté EI. 2- Logique Une proposition mathématique P est une phrase pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par exemple, dans les entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette propositionest un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions P ou Q est vraie. Les deux peuvent être vraies. le "ou"...
ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES
PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partielc) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étudeexhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant les parties d'un ensemble E, on note : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B) A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B) A = {x | x ∉ A} (complémentaire de A) On prouvera en exercicesles règles usuelles suivantes : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A⊂B⇔ A∩ B⊂
A -1-
B
Ces règles s'appliquent à une réunion ou une intersection quelconque, finie ou non. Si I désigne un ensemble quelconque d'indices, on pose : x ∈ ∪ Ai ⇔ ∃ i, x ∈ Ai (x est dans l'un des Ai. ∃ signifie "il existe")i∈I x ∈ ∩ Ai ⇔ ∀ i, x ∈ Ai i∈I EXEMPLE :
n∈
(x est dans tous les Ai. ∀ signifie "quel que soit")
1 ∪ [ , 1] = ]0,1]. * n
1 1 ∩ [1 – , 1] = {1}, alors que ∩ [1 – , 1[ = ∅ n∈ * n∈ * n n ∅ désigne l'ensemble vide, ne possédant aucun élément. ii) On appelle différence de A et B la partie notée A – B (ou A \ B) définie par {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B}. On a A – B = A ∩ B. iii) Toutes les parties deE, depuis l'ensemble vide ∅ jusqu'à E lui–même, forment un ensemble appelée ensemble des parties de E et notées (E). Si E possède n éléments, (E) en possède 2n. En effet, pour définir une partie A de E, il suffit de choisir si chaque élément de E appartient ou non à A, ce qui fait 2n choix possibles (deux choix possibles par élément : il est dans A ou il n'est pas dans A). Le nombre d'éléments d'unensemble s'appelle son cardinal. On a donc : Card (E) = 2Card(E) iv) Etant donné deux ensembles E et F, on note E × F l'ensemble des couples (x, y), où x est élément de E et y élément de F. Par exemple, l'ensemble des couples de réels est noté × , ou 2. L'ensemble des n–uplets ou n–listes (x1, x2, ..., xn) d'éléments de E est noté En. L'ensemble des suites (xi)i∈I d'éléments de E, indicées par unensemble I fini ou non, est noté EI. 2- Logique Une proposition mathématique P est une phrase pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par exemple, dans les entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette propositionest un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions P ou Q est vraie. Les deux peuvent être vraies. le "ou"...
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