Baccalauréat S Liban mai 2012

Exercice 1
Commun à tous les candidats.

6 points

Partie A
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x) = 2x 3 − 1 + 2 ln x 1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une valeur approchée de α, arrondie au centième. 3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie B
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : ln x x2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal (O ; ı ;  ). f (x) = 2x − 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite ∆ d’équation y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆. 3. Justifier que f (x) a même signe que g (x). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère (O ; ı ;  ). On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C
Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2 , est donnée par : n In = 2 n 1

ln x dx. x2

2.

ln x dx à l’aide d’une intégration par parties. 2 1 x b) En déduire l’expression de In en fonction de n. a) Calculer l’intégrale

3. Calculer la limite de l’aire In du domaine D quand n tend vers +∞.

1

Baccalauréat S

A. P. M. E. P .

Exercice no 2
Commun à tous les candidats.

4 points

Les quatre questions sont indépendantes. Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera