Correction exercices supplémentaires : Loi binomiale
Partie A : Loi binomiale
Exercice 1
1) Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles.
2)
a. Les forages doivent être indépendants pour que  suive une loi binomiale.
b.  ≥ 1 = 1 −  = 0 = 1 − 0,9! ≈ 0,613
Exercice 2
On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et que donc les tirages sont indépendants les uns des autres. Le nombre  de résistances défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres 1000 et 0,005.
a.  = 2 = 
III

 × 0,005 × 0,995!!" = 499500 × 0,005 × 0,995!!" ≈ 0,084
b.  ≤ 2 =  = 0 +  = 1 +  = 2
= $1000
0
% × 0,995III + $1000
1
% × 0,005 × 0,995!!! + $1000
2
% × 0,005 × 0,995!!" ≈ 0,124
c.  ≥ 2 = 1 −  ≤ 1 = 1 −  = 0 −  = 1
= 1 − 0,995III − 1000 × 0,005 × 0,995!!! ≈ 0,960
Exercice 3
1) Les interrogations se font de manière indépendante les unes des autres et à chaque interrogation la probabilité d’avoir une fille est I
I
soit 

donc  suit une loi binomiale de paramètres et


.
2) Pour = 10
 = 4 = $10
4
% × $2
3
%
#
× $1
3
%

= 210 ×
16
81
×
1
729 ≈ 0,057
 ≥ 4 = 1 −  ≤ 3 ≈ 0,980
3) On cherche tel que  = 0 ≤ 0,001 or  = 0 = 

I
 × 4

5
I
× 4

5

=


E
.
 = 0 ≤ 0,001 ⇔
1
3
 ≤ 0,001 ⇔ 3 ≥
1
0,001 ⇔ 3 ≥ 1000
A l’aide d’un tableau de valeur de la calculatrice, on a 3
 = 729 et 3
 = 2187 donc ≥ 7
Il faut donc interroger pendant au moins 7 jours consécutifs pour que la probabilité de n’avoir aucune fille soit inférieure à 0,001.
Exercice 4
1) Les tirages sont indépendants et à chacun des deux tirages, on a 2 chances sur 10 d’avoir une boule gagnante. Le nombre de boules gagnantes suit donc une loi binomiale de paramètres 2 et


.
2) Dans le cas