Problème 1 - Supraconducteurs r On considère un cylindre métallique placé dans un champ électrique E 0 uniforme et constant.
Le modèle utilisé sera le suivant ; le conducteur métallique est formé d'atomes ionisés fixes et d'électrons libres.
Ce sont ces derniers qui assureront la conduction électrique. En plus des forces dues au champ é1ectrique, un électron sera soumis aux forces d’interaction (chocs) avec les ions, modélisées par une force de type frottement r r r fluide F = −k v , v étant la vitesse de l'électron par rapport aux ions fixes et k une constante dépendant de la nature du matériau. On ne tiendra pas compte du poids des électrons. On notera m la masse d'un électron, -e sa charge, n la densité d'électrons libres c'est à dire le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et on supposera que les électrons libres ne peuvent pas sortir du conducteur.
Les données numériques sont regroupées à la fin du sujet.
1)
r
a. Ecrire l'équation différentielle donnant v , vitesse d'un électron du cylindre. Intégrer cette équation r r différentielle en tenant compte des conditions initiales : v = 0 à t = 0 (on posera τ = m/k). r r
b. Montrer qu'après un régime transitoire, v tend vers une valeur limite v l que l'on déterminera. En déduire la r r loi d'Ohm locale liant la densité de courant j dans le cylindre et le champ E 0 . Exprimer la conductivité γ du matériau.
c. Application numérique : pour le cuivre on trouve expérimentalement que γ = 5,8.107 S.m-l. Calculer τ.
Conclure quant à la durée du régime transitoire.
Pour certaines températures très basses, certains conducteurs offrent une conductivité infinie. Ceci revient à prendre nulle la constante k de la modélisation des frottements : c'est le phénomène de supraconductivité. r r
2) Etablir la relation liant la dérivée par rapport au temps de la densité de courant j et le champ électrique E régnant dans un tel conducteur. r uuur r
∂B
3)
a) En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday qui s’écrit: rot E = −
,