Les problèmes ouverts

Ce document est un résumé extrait du livre « problème ouvert et situation problème » IREM de Lyon de G.Arsac ; G.Germain ; M.Mante.

Un exemple simple :

On donne une droite D et deux points A et B situés dans un même demi-plan par rapport à D.
Existe-t-il un point C de D tel que le trajet ACB soit minimum ?

Qu’est ce que c’est un « problème ouvert » ?

C’est un problème :
D’énoncé court et compréhensible,
Ne contenant ni la méthode, ni la solution,
Permettant à chacun qui le cherche de faire des essais.

Pourquoi un énoncé court ?

L’énoncé court permet à l’élève d’avoir une première compréhension « instantanée » et lui donne souvent l’impression que c’est facile, que la solution est à sa portée. Cela lui donne donc envie de chercher.

Pourquoi ne donner aucun renseignement sur la méthode de résolution ?

Cela évite que la solution du problème se réduise à l’application d’un outil de cours.
L’élève a à choisir lui-même un cheminement, à y renoncer éventuellement pour en prendre un autre, à produire une proposition de solution (conjecture).
Dans un premier temps, il doit faire preuve de créativité puis s’il veut résoudre le problème, il va devoir mettre en route la démarche scientifique c'est-à-dire :
Faire des essais pour produire une conjecture,
Tester sa conjecture en faisant d’autres essais,
Prouver la validité de sa conjecture.

Permettant à chacun qui le cherche de faire des essais ?

Cela permet à tout élève qui s’engage dans la recherche de produire des résultats partiels dans un temps raisonnable.
Elle assure que le temps pour réaliser un essai est assez bref, compte tenu des connaissances et que le temps supposé de l’apparition d’une nouvelle conjecture est compatible avec la durée de la séance de classe ordinaire : le problème est ouvert mais le temps de recherche est fermé.

Pourquoi la recherche doit-elle se faire en classe ?

Trois raisons essentielles :

Le professeur peut