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|Classe de Première S |Correction TP n° 1 : Etude d’une situation géométrique ||2010/2011 |CHAPITRE 1 : SECOND DEGRE |

Partie C :1)
( Dans le triangle AMC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :
CM² = AM² + AC²
CM² = t² + 16
CM = car CM > 0.
( Dans le triangle MHKrectangle en H, d’après le théorème de Pythagore :
MK² = MH² + HK²
HK² = MK² - MH²
Or, le triangle MBK est équilatéral donc MK = MB = 8 – t.
D’autre part, [HK] quiest la hauteur issue de K dans le triangle équilatéral MBK est aussi la médiane issue de K, donc H est le milieu de [MB], donc MH = =
On a donc : HK² = (8 – t)² -( )² = (8 – t)² - =
HK = ) = ;2)) car HK > 0.

2) CM et HK sont des nombres strictement positifs donc CM = HK ( CM² = HK².
CM² = HK² ( t² + 16 = ( 4t² + 64= 3 (8 – t)² ( 4t² + 64 = 3 (64 – 16t + t²)
( 4t² + 64 = 192 – 48t + 3t² ( t² + 48t – 128 = 0
Ce trinôme du second degré a pour discriminant ( = 2816 ; ilpossède donc deux racines :
t1 = ;2)) = - 24 - < 0 et t2 = ;2)) = - 24 + ( 2,53
La valeur de t2 correspond à la valeur de t conjecturée dans la question 1) de lapartie B.

3) C (- 9 ; 4), M (- 9 + t ; 0) et K (- 9 + t +  ; - ;2)))
);CM)(t ; - 4) ; );MK) (  ; - ;2)))
Les vecteurs );CM) et );MK) ne sont pas colinéaires (ilsuffit de calculer les deux produits : - 4 ( et t ( - ;2)) avec t = - 24 + à l’aide la calculatrice).
Les points C, M et K ne sont donc pas alignés.
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