GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Important:

Toutes les opérations possibles sur les vecteurs dans un plan sont les même que celles sur les vecteurs dans l’espace, il est donc possible de reprendre les même notions (par exemple la relation de Chasles) vu pour les calculs dans le plan et de les étendre à l’espace.

I. CARACTÉRISATION D’UNE DROITE OU D’UN PLAN
Dans l’espace une droite est caractérisée par les coordonnées de deux points distincts ou par la donnée d’un vecteur directeur et d’un point.
Dans l’espace un plan est caractérisé par la donnée de 3 points non alignés ou d’un point et de deux vecteurs directeurs.

Propriété :
Soient un point A et deux vecteurs et non colinéaires. Alors le plan passant par A et dirigé par et peut être définit de la manière suivante: Soit M l’ensemble des points de l’espaces tel que
A M= α + β , avec α et β deux réels.

Rappel:
Deux vecteurs

et

sont non colinéaires si l’on ne peut pas établir la relation =K avec K un

nombre réel.

II. VECTEURS COLINÉAIRES ET COPLANAIRES
Dire que des vecteurs sont coplanaires est un prolongement de la colinéarité dans un espace.

1. La colinéarité

Définition:
La colinéarité entre deux vecteurs signifie que l’on peut établir un lien linéaire entre eux.
C’est-à-dire que deux vecteurs et sont colinéaires si l’on peut établir la relation =K avec K un nombre réel entre eux.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les plans.

Pour retenir :
Dire que deux vecteurs sont colinéaires est équivalent à dire que deux droites sont parallèles. Théorème pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires Soit (a ; b) et (c; d) deux vecteurs aux coordonnées non nulles. et sont colinéaires si et seulement si ad-cb = 0.

2. Coplanaire

Définition:
Trois vecteurs sont dits coplanaires si l’un des vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres. C’est-à-dire que les trois vecteurs , et sont coplanaires si l’on peut établir la relation = α + β , avec α et β