Monte carlo et performances

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Simulations de Monte Carlo et calculs de performance
Janvier 2007

Introduction L’objet de cette note est d’éclaircir la manière dont doivent être calculées les performances (et donc les écart- types) des portefeuilles simulés par méthode de Monte Carlo. On regarde plus précisément deux niveaux : en input, est-ce que les paramètres que l’on insère rendent bien compte des résultats que l’onattend ? en output, les calculs des caractéristiques (performance moyenne, écart-types, VaR) des portefeuilles sont-ils cohérents avec nos attentes ? Dans toute la suite, sauf précisions, on se situe dans le cadre d’une loi normale pour les rendements de moyenne 7% et d’écart- type 15%. 1. Quels paramètres dans les modèles Black-Scholes ? Commençons par un exemple. Si nous simulons avec un pas dt etavec une hypothèse de R% de rendement annuel, sur une maturité T exprimée en années représentant N pas, nous obtenons le rendement capitalisé (1 + R * dt ) N . Or U = (1 + R * dt ) N > (1 + R) Ndt Ceci quelle que soit la maturité T>0. Le rendement annualisé Rann = (U)1/T-1 qui en découle est donc strictement supérieur à R le rendement souhaité. Si l’on prend R=7%, dt = 1/365, T = 1 an = 365 dt, onobtient un rendement de (1+7%*(1/365))365-1 qui annualisé (neutre ici car maturité de 1 an) donne 7.25% de rendement. Nous illustrons ceci sur divers horizons :
1 mois Rdt 22,47% 1 an Rdt 8,21% 3 mois 6 mois 9 mois 11 mois 12 mois éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type 68,18% 11,92% 34,35% 9,43% 23,48% 8,62% 18,96% 8,32% 17,08% 8,21% 16,32% 3 ans 5 ans 7 ans 10ans 15 ans éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type 16,32% 7,40% 9,32% 7,24% 7,20% 7,17% 6,08% 7,12% 5,08% 7,08% 4,15%

Or nous souhaitons simuler ici un rendement annuel de 7%. Le modèle BS tel qu’utilisé cidessus ne permet donc pas de reproduire ce que l’on souhaite. Le modèle BS est la plupart du temps utilisé de manière discrétisée. Or comme illustré plushaut, le pas choisi détermine la capitalisation. Plus il est faible plus celle-ci est répétée dans un intervalle de temps donné et plus la rémunération simulée est importante. Dans l’exemple on compare une capitalisation annuelle à une capitalisation journalière. La différence de

25bps ci-dessus n’est pas négligeable puisque de l’ordre de grandeur de frais de gestion d’un fonds dédié de taillesupérieure à 30M€. Remarque : on se situe à mi-chemin entre le taux actuariel classique et le taux continu, celui des modèles, plus maniable. Seulement, le taux continu ne peut être utilisé partout, dans notre approche des taux notamment, sans augmenter considérablement les temps de calculs (passage d’un type de taux à un autre). On doit donc modifier l’hypothèse de rendement pour l’adapter à ladiscrétisation. Si R est le ~ 1 rendement cible annuel, on utilisera le rendement « tilté » R = (1 + R ) dt − 1 . Si R = 7%, on dt ~ trouve R = 6.76...%

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La volatilité n’exprimant qu’une variation relative par rapport à la tendance (valeur centrée par définition), celle-ci ne devrait pas être impactée autrement que par un alea statistique.

2. Deux calculs de performance moyenne Aprèssimulations de n VLs d’un portefeuille à horizon, on a vu que deux calculs sont possibles pour déterminer les performances annuelles des allocations :
- Pour chacune des n VLs, on détermine le rendement annualisé. La performance moyenne est la moyenne de ces rendements annualisées. On travaille donc avec des distributions de rendements annualisés. - On calcule la VL moyenne à horizon on en déduitun rendement moyen à horizon que l’on annualise. On travaille alors avec une distribution à horizon. Historiquement, c’est la première méthode qui est utilisée. Or, a priori, il se trouve que cela ne correspond pas à la réalité puisque celle-ci est mieux caractérisée par une distribution des performance à horizon : c’est le calcul de la VL à horizon qui importe au final). L’annualisation (non...
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