LES NOMBRES COMPLEXES Les nombres sont des objets abstraits créés par l’homme : création des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombre complexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). 4/- x  iy est appelé forme algébrique de z. 5/- L’ensemble des nombres complexes est noté . Exemples et conventions d’écriture :  (3 ; 2) définit  (x,0) définit  (0 ; 1) définit noté encore noté encore . .  (5 ; 2) définit  (0 ; y) définit noté encore noté encore

Conséquence : 1/- Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle constituent

2/- Ceux dont la partie réelle est nulle constituent l’ensemble des imaginaires purs noté 3/- 0 est à la fois réel et imaginaire pur. 2) Le plan complexe.
  Définition 2 : 1/- On appelle plan complexe tout plan muni d’un repère orthonormal direct (O; u , v ) .

On note P ce plan et P l’ensemble de ses vecteurs. 2/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique point MP de coordonnées (Re(z), Im(z))
  dans le repère (O; u , v ) , on dit que z est l’affixe du point M dans ce repère et on peut la noter zM.

 3/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique vecteur w P de coordonnées (Re(z), Im(z))     dans la base (u , v ) , on dit que z est l’affixe du vecteur w P dans cette base et on peut la noter z w .

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Exemples : Placer les points A, B, C d’affixe respective 1  2i ,2  i ,3i et le représentant d’origine C du vecteur  w d’affixe 2  4i.
 v

O

 u

Théorème 1 : 1/-Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : 2/- Cas particulier : 3/- M(z)(Ox)  z est réel : 4/-