Nombres complexes

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  • Publié le : 9 janvier 2010
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LES NOMBRES COMPLEXES Les nombres sont des objets abstraits créés par l’homme : création des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombrecomplexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). 4/- x  iy est appelé forme algébrique de z. 5/- L’ensemble des nombres complexes est noté . Exemples et conventions d’écriture :  (3 ; 2) définit  (x,0) définit  (0 ; 1) définit noté encore noté encore . .  (5 ; 2) définit  (0 ; y) définit notéencore noté encore

Conséquence : 1/- Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle constituent

2/- Ceux dont la partie réelle est nulle constituent l’ensemble des imaginaires purs noté 3/- 0 est à la fois réel et imaginaire pur. 2) Le plan complexe.
  Définition 2 : 1/- On appelle plan complexe tout plan muni d’un repère orthonormal direct (O; u , v ) .

On note P ce plan et Pl’ensemble de ses vecteurs. 2/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique point MP de coordonnées (Re(z), Im(z))
  dans le repère (O; u , v ) , on dit que z est l’affixe du point M dans ce repère et on peut la noter zM.

 3/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique vecteur w P de coordonnées (Re(z), Im(z))     dans la base (u , v ) , on dit que z est l’affixe du vecteur wP dans cette base et on peut la noter z w .

1

Exemples : Placer les points A, B, C d’affixe respective 1  2i ,2  i ,3i et le représentant d’origine C du vecteur  w d’affixe 2  4i.
 v

O

 u

Théorème 1 : 1/-Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : 2/- Cas particulier : 3/- M(z)(Ox)  z est réel : 4/-M(z)(Oy)  z est imaginaire pur : 4) Forme polaire d’un complexe non nul. Module et argument.
  Rappel : Soit (x ; y) les coordonnées cartésiennes d’un point M distinct de O dans (; u , v ) orthonormal direct

r     Chaque couple (r ; )2 vérifiant   est un couple de coordonnées polaires de M (u ,  )    r  x 2  y 2  2  (r ; ) est un couple de coordonnées polaires de M si etseulement si  x y cos   et sin    r r  (r ; ) et (r’ ; ’) sont des coordonnées polaires du même point si et seulement si r = r’ et  = ’ [2]

 L’origine du repère n’a pas de coordonnées polaires, on l’appelle pôle. z*, (Re(z), Im(z)) sont les coordonnées cartésiennes d’un unique point M du plan complexe distinct de O Définition 3 : 1/- Le nombre réel r  x 2  y 2 est appelé moduledu nombre complexe z  x  iy , on le note z . 2/- Lorsque z est non nul, tout couple (r ; ) de coordonnées polaires du point M d’affixe z est appelé forme polaire de z et on peut écrire z  r ;  . 3/- Le réel  est un argument de z* si r ;  est une forme polaire de z. On écrit arg(z) =  [2] Exemple : Déterminer graphiquement un argument des nombres complexes suivants : 2;1 i;3;2i;0 .

2

y

 v

O

 u

x

Conséquences : 1/- z+*  arg(z) = 0 3/- zi+*  arg(z) =

2/- z*  arg(z) = 

 2

4/- zi*  arg(z) = 

 2

4) Addition et soustraction dans . Définition 4 : On appelle addition dans  l’opération définie par : (z, z’)2 , Théorème 2 : 1/- L’addition dans  est associative : ( z , z ' , z" )   3 , ( z  z )  z   z  ( z   z) que l’on convient d’écrire z  z   z . 2/ L’addition dans  est commutative : ( z, z ' )   2 , z  z   z ' z . 3/ 0 est élément neutre : z  , z  0  0  z  z . Définition 5 : Un nombre complexe z admet un symétrique pour l’addition s’il existe un nombre complexe z’ tel que z + z’ = z’ + z = 0. Théorème 3 : 4/ Tout nombre complexe admet un symétrique unique pour l’addition...
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