Physique

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  • Publié le : 2 mai 2010
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Système de points matériels: Résumé
Système constitué de N points matériels {draw:frame} .
Chaque point matériel est soumis à des forces intérieures et extérieures. Pour le point matériel i :
{draw:frame} exercée par l’ensemble des points matériels du système, le point matériel i non inclus.
{draw:frame} exercée par l’ensemble des points matériels qui ne fontpas partie du système.
On donne les conditions initiales {draw:frame} puis on résout N équations du mouvement
{draw:frame}
(Les forces intérieures dépendent des positions et des vitesses des autres points matériels)
1. Centre de masse d’un système de points matériels
Les coordonnées {draw:frame} , {draw:frame} , {draw:frame} du centre de masse N points matérielssont données par : {draw:frame}
Si {draw:frame} est le vecteur position du point matériel i dans le système de coordonnées OXYZ et {draw:frame} celui du même point dans le système de coordonnées O’X’Y’Z’, on a : {draw:frame}
On en déduit la relation entre les vecteurs position {draw:frame} et {draw:frame} dans ces 2 systèmes de coordonnées {draw:frame}
Laposition du centre de masse par rapport aux différents points matériels est donc indépendante du système de coordonnées choisi {draw:frame}
La position du centre de masse est donc une caractéristique intrinsèque de la distribution spatiale des points matériels. 2. Théorème de la quantité de mouvement
2.1. Quantité de mouvement totale :
Vitesse du centre de masse :{draw:frame}
2.2. Théorème de la quantité de mouvement :
Dérivons les 2 membres de l’équation {draw:frame} par rapport au temps et tenons compte de l’équation du mouvement de chaque point. On obtient {draw:frame} Où {draw:frame} est la résultant générale des forces
Puisque {draw:frame} = {draw:frame} + {draw:frame} , la résultante {draw:frame} de toutes les forcesest la somme de la résultante des forces internes et de la résultante {draw:frame} des forces externes.
Il est facile de voir que la résultante des forces internes est nulle en vertu de la troisième loi de Newton qui postule que {draw:frame} .
On peut donc écrire
{draw:frame}
On obtient ainsi :
En vertu de {draw:frame} et du résultat ci-dessus, on obtient :Sans tenir compte de la résistance de l’air, un projectile suit parabole. Quand il explose, fragmente. Chaque fragment suit sa propre parabole mais leur centre de masse poursuit la parabole du projectile.
2.3. Loi de conservation de la quantité de mouvement :
Lors que la résultante des forces extérieures est nulle, la quantité de mouvement totale ne varie pas avec le temps. On aboutit ainsi àune loi appelée loi de conservation de la quantité de mouvement qui s’énonce comme suit.
On en déduit que la vitesse du centre de masse est constante en grandeur et en direction.
Le centre de masse a donc un MRU ou est au repos.
3. Théorème de l’énergie cinétique
3.1. Energie cinétique :
3.2. Théorème de l’énergie cinétique :
Principe :
La variation de l’énergie cinétiquetotale est égale à la somme des travaux des forces extérieures et des forces intérieures.
Si une ou plusieurs forces sont conservatives, leurs travaux s’écrivent comme une différence d’énergie potentielle.
{draw:frame}
Puisque,
{draw:frame}
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique totale s’écrit
{draw:frame}
En intégrant cette dernière relation entre2 instants et , on obtient
K( ) – K( ) = {draw:frame} {draw:frame} + {draw:frame} {draw:frame}
4. Théorème de Koenig
Principe :
L’énergie cinétique totale d’un système de points matériels est la somme de l’énergie cinétique {draw:frame} du centre de masse considéré comme un point matériel de masse M et de la somme K’ des énergies cinétiques des points matériels dans...
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