PCSI1-PCSI2

DNS n 04 - Cahier vacances ˚

2011-2012

Ce qui suit fera office de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention.

1

Définitions de injection-surjection-bijection
On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière et s’il existe par l’application . Si et l’ensemble d’arrivée de . Ainsi, pour tout est l’image de , on dit que est un antécédent de

de l’application) de unique !) et un élément

. On dit que tel que

1.1

Injection est une injection (application injective) si « deux éléments différents de (dans ) ». Ceci se traduit par : :( ) ( :( de ). , id id , si , alors . Donc , est injective. , cette dernière égalité entraînant ) ». ont la même ( ) ». ) est injective si : «

On dit que

ont toujours des images différentes par

Une définition équivalente (obtenue par contraposition) est : « si deux éléments de image alors, nécessairement, ils sont égaux », (ie) « Une application un antécédent Exemple : soit dans l’ensemble un ensemble. associe , c’est à dire : , alors id . Pour ou ( tel que est donc injective lorsque tout élément

possède au plus (0 ou 1)

On note id l’application qui à tout L’application id est une injection, car si Exemple : soit (ie) Méthode : 1. pour montrer qu’une application d’éléments de , l’hypothèse , avec , d’où

(pas évident...à vérifier !). Dans tous les cas, on a forcément

est injective : on montre que, pour tous les couples entraine nécessairement .

2. pour montrer qu’une application éléments et distincts (

n’est pas injective : il suffit de trouver deux . , l’équation . est

) qui ont la même image par , (ie) vérifiant est injective, on montre que, pour tout

3. autre méthode : pour prouver que «

», d’inconnue , possède