Statistique

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  • Publié le : 30 décembre 2009
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1 Pascale NEYRAN / ESDES première année Durée : 1 heure 30 Nombre de pages du sujet : 6 (avec les tables statistiques données en annexe). Devoir noté sur 30

Partiel STATISTIQUES janvier 2009
(sans documents – calculatrice collège autorisée)

EXERCICE I : (5 points) On dispose d'un test pour dépister une maladie. Le fabricant du test fournit les éléments suivants : la probabilité qu'unindividu malade ait un test positif est 0,99 ; la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est 0,99. On envisage un dépistage systématique sur une population dans laquelle on estime à p le pourcentage de gens malades (avec 0 ≤ p ≤ 1). Pour un individu de cette population, on notera M l'événement : "l'individu est malade" et T l'événement : "l'individu a un test positif". On appellevaleur diagnostique du test la probabilité qu'un individu de la population dont le test est positif soit malade. 1) Déterminer la probabilité de l'événement T, lorsque p = 0,40. 2) Exprimer la valeur diagnostique du test en fonction de p. 3) Reproduire et renseigner le tableau suivant à 10-4 près : p valeur diagnostique du test Que peut-on en conclure ? 4) Calculer la probabilité d'un "faux positif",c'est-à-dire la probabilité qu'un individu qui a un test positif ne soit pas malade, dans le cas où p est égal à 0,5 %. 0,001 0,1 0,8

EXERCICE II : (7 points) Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication de tables et salons de jardin en bois, on effectue une étude afin d'améliorer la rentabilité. La fabrication d'une table nécessite 12 planches. La probabilité qu'une planche présente unnœud dans le bois, ce qui la fragilise est de 0,04.

2 Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n'est pas mise en vente, si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de planches fragiles par table. Il est précisé que le nombre decombinaisons de 2 éléments parmi 12 est égal à 66 et que le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 12 est égal à 220. 1) Donner en la justifiant, la loi de probabilité de X. 2) Calculer la probabilité que la table soit vendue au prix normal. 3) Calculer la probabilité qu'elle soit vendue en promotion. 4) Le coût de fabrication d'une table est 100 €, leur prix de vente normal est 250 €, et lapromotion consiste en un rabais de 20 %. a) Calculer pour une table, l'espérance du gain de l'entreprise. b) Evaluer la dispersion du gain de l’entreprise.

EXERCICE III : (14 points) On étudie la variable aléatoire X qui mesure le taux des retours du rayon jardinage d’un magasin. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 25 % et d’écart type 8 %. PARTIE A 1) Quelleest la probabilité que le taux des retours dépasse 40 % ? 2) Quelle est la probabilité que le taux des retours soit compris entre 17 % et 33 % ? 3) Quel est le taux des retours qui est dépassé avec une probabilité de 0,90 ? 4) Calculer le premier quartile. 5) A quel intervalle centré sur la moyenne peut-on s’attendre pour que le taux des retours soit connu avec une probabilité de 0,95 ? PARTIE BCompte tenu de la politique d’approvisionnement d’un certain détaillant, on estime que la probabilité qu’un client donné puisse trouver le produit qu’il cherche est de 0,95. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de clients non satisfaits parmi 100 clients qui se présentent au magasin lors d’une journée. (Un client est non satisfait s’il ne trouve pas le produit qu’il cherche)

3 1)Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Z donnant le nombre de clients non satisfaits parmi les 100 clients d’une journée. 2) Calculer la moyenne et l’écart type de Z. 3) Par quelle loi discrète peut-on approcher la loi de Z ? 4) En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité d’avoir un nombre de clients non satisfaits compris entre 3 et 8 au sens large ? PARTIE C Le service...
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