Première ES : probabilité

II – Probabilité sur un univers fini

Définition d’une probabilité :
Soit un univers fini  = { 1, 2, .... n} a n élément. Un probabilité sur l'univers  est une application p de l'ensemble des parties de  à valeur dans l'intervalle [0 ;1] telle que :
• p() = 0
• p({ 1}) + p({ 2}) + p({ 3}) +...+p({ n}) = 1 ( la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent  est égale à 1 )
• l'image de tout événement A non vide inclus dans  est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent ( dont il est la réunion ).
Exemple : On considère un dé à 6 face numérotés de 1 à 6 .
Parmi les applications suivantes , quelles sont celles qui sont des probabilités sur  ?

1) l’application p est telle que p() = 0 et p1 = 0,2 ( la probabilité d’obtenir le chiffre 1 est 0,2 on peut noter aussi cette probabilité p({1} ) p2 = 0,3 , p3 = 0,15 , p4 = 0,2 p5 = 0,05 , p6 = 0,1

2) l’application p est telle que p() = 0 et p1 = 0,1, p2 = 0,1 , p3 = 0,1 , p4 = 0,2 p5 = 0,2 , p6 = 0,2

3) l’application p est telle que p() = 0 et

5) p() = 0 et p1 = 0,5, p2 = 0,5 , p3 = 0,1 , p4 = 0,2 p5 = 0,2 , p6 = 0,2

Propriétés d’une probabilité :

Soient P une probabilité sur un univers , A, B deux événements alors :
P(A  B ) = P(A) + P(B) - P(A B )
Si A et B sont incompatibles : P(A B ) = P(A) + P(B)
P( ) + P(A) = 1
Equiprobabilité : dans le cas ou chaque événements élémentaires à la même probabilité ( dès équilibré , boules indiscernables au touché etc… ) c'est-à-dire : ( en gardant les notations de la définition ) p({ 1}) = p({ 2}) = p({ 3}) =... = p({ n}) =
Le calcul de la probabilité de n’importe quel événement sur  se simplifie