Loi normale ou loi de Gauss
Familles de loi de probabilité continues, définies sur l’ensemble des réels, complètement caractérisées par leur espérance et leur variance De distribution symétrique autour de leur espérance x ~ N (µ ,σ 2 ) f ( x) =  ( x − µ )2   exp −  2σ 2  2πσ   1
2

Exemples de lois normales

Fonction de répartition
Pas calculable analytiquement
Calcul numérique

La loi normale centrée réduite
Loi normale d’espérance nulle et de variance 1

u ~ N (0,1) f (u ) =  u2  1 exp −   2 2π  

Représentation graphique

Passage d’une loi normale quelconque à la loi normale centrée réduite
On peut toujours déterminer la valeur de la fonction de densité ou de répartition d’une loi normale quelconque à partir de la loi normale centrée réduite en effectuant un changement de variable

u=

x−µ

x = σu + µ

σ

Tables de distribution de la loi normale centrée réduite

Utilisation de la table de la fonction de répartition

Utilisation de la table de l’écart-réduit

Somme de deux lois normales indépendantes
La somme de deux lois normales indépendantes est une loi normale dont l’espérance et la variance sont égales respectivement à la somme des espérances et des variances.

Loi binomiale
On obtient une loi binomiale quand : on répète n fois une même expérience de Bernoulli ayant une probabilité de succès p, les expériences étant indépendantes entre elles On s’intéresse au nombre de succès k, On dit que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

Caractéristiques de la distribution binomiale k P ( X = k ) = Cn p k q n − k = n! k !( n − k )!

p k q n−k

E ( X ) = np V ( X ) = np (1 − p )
L’espérance et la variance correspondent à celles de la somme de n tirages de Bernoulli indépendants de paramètre p

Distribution binomiale n=10 p x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total 0.1 0.3487 0.3874 0.1937 0.0574 0.0112 0.0015 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.2 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264