TD 2A
Module complémentaire
Voir : http://www.concours-ensea.org/Portail/
Espace Vectoriel et Sous Espace Vectoriel
EV : l'ensemble des fonctions réelles
Montrez que l'ensemble des fonctions réelles munie des lois + et * un un espace vectoriel je rappelle les deux lois : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (k*g)(x)=k*g(x), ceci et
SEV dans l'ensemble des fonctions réelles
Sous espace vectoriel : Dans l'espace de toutes les fonctions définies sur à valeurs réelles, muni des lois usuelles, étudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :
,,, ,, ,,.
SEV dans l'ensemble des suites
On considère l'espace vectoriel des suites de nombres réels.
(a) Montrer que l'ensemble des suites qui convergent vers zéro est un sous-espace vectoriel.
(b) Montrer que l'ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel.
(c) L'ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ?
SEV de
Les systèmes de vecteurs suivants de sont-ils des systèmes libres ou liés? Sont-ils des bases ?
Pour chacun de ces systèmes, donner son rang.
Pour les systèmes liés en extraire un système libre et pour les systèmes libres les compléter par des vecteurs de la base canonique pour obtenir une base de
,,, ,
SEV de
(a) Dans on donne les polynômes :
P1(x)=x(x-1)(x-2) ; P2(x)=x(x-2)(x-3) ; P3(x)=x(x-1)(x-3) ; P4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
Forment-ils un système libre ?
(b) Même question avec les polynômes :
Q1(x)=(x-1)3; Q2(x)=(x-1)2(x-2); Q3(x)=(x-1)(x-2)2; Q4(x)=(x-2)3
Applications linéaires
Équations différentielles
a) Montrez qu'une équation différentielle (voir définition du cours du S1) linéaire est une application linéaire de l'ensemble des fonctions dans lui-même.
b) Nous allons prendre l'équation différentielles suivantes : y -> xy'-3y
Montrez que est stable par cette application linéaire.
Quel est le noyau de cette application linéaire ? Identifiez son ensemble image.
Donnez la matrice correspondant à cette application linéaire.
c) Même question avec y ->