LPSIL

Ann´ee 2007-2008
TD MathOpt - Feuille 1 - Correction

Introduction et mod´elisation

Correction de l’exercice 1
P1 et P2 ne sont pas sous la forme standard car les contraintes de P1 ne sont pas form´ees d’in´equations du type ≤ et P2 est un probl`eme de minimisation. P3 est bien sous la forme standard (maximiser,≤,x j ≥ 0).

Correction de l’exercice 2
Minimiser z = c.x est e´ quivalent a` maximiser w = −c.x = (−c)x. Pour obtenir la valeur correspondante de z il faut multiplier w par −1.
Pour les in´equations, a.x ≥ b est e´ quivalent a` −a.x ≤ −b.
P4 : Maximiser
8x1 − 9x2 − 2x3 + 6x4 + 5x5
Sous les contraintes : −6x1 − 6x2 + 10x3 − 2x4 + 8x5 ≤ −3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥
0

Correction de l’exercice 3
En lisant les in´equations de (1.9) on voit que la deuxi`eme contrainte s’´ecrit −2(x1 + x2 ) ≤ −10, donc x1 + x2 ≥ 5 mais ceci est impossible car la premi`ere contrainte est x1 + x2 ≤ 2. Le probl`eme est non r´ealisable. Pour le probl`eme (1.10), soit un r´eel M ≥ 2 alors la solution x1 = M, x2 = 0 v´erifie les contraintes. On peut prendre M aussi grand que l’on veut.

Correction de l’exercice 4
a) s > 0 et t > 0
b) jamais
c) s ≤ 0 et/ou t ≤ 0

Correction de l’exercice 5
Soient x et y les quantit´es de produits X et Y fabriqu´es. La quantit´e totale de produits A utilis´ee est:

1

2x + 3y ≤ 180.

(1)

2x + y ≤ 120.

(2)

x + 3y ≤ 150.

(3)

De mˆeme pour les produits B et C on obtient :

Bien entendu, les quantit´e x et y sont positives : x, y ≥ 0.
Enfin, on tente de maximiser le profit qui est le total des b´en´efices sur la vente des produits de types X et Y
: 3x + 4y. On obtient le programme lin´eaire suivant :
Maximiser
z = 3x
Sous les contraintes :
2x
2x x + 4y
+ 3y ≤ 180 (1)
+ y ≤ 120 (2)
+ 3y ≤ 150 (3) x, y ≥
0

On peut repr´esenter le probl`eme dans un espace a` deux dimensions.

120

fa(x) fb(x) fc(x)

B
100

80

A

60

40

b

(42,36)

(30,40) d (45,30)

20

0

c

C

a
0

e
20

40

60

80

100

120

140

Figure 1: Repr´esentation graphique du