Université Paris 1 - L3 Mass
Modèles mathématiques en Finance - TD1

1. On désigne par re et rs les taux d'intérêt à 6 mois en euros et en dollars. Soit π le cours au comptant du dollar en euros et soit q le cours à 6 mois du dollar en euros sur le marché à terme des devises. a) Quelle est, en l'absence de coûts de transaction, la relation qui lie les quantitiés re , rs , π , q ?
b) Même question en distinguant entre taux d'intérêt prêteurs et emprunteurs re- , rs- , re-+ , rs-+ .
2. En t = 0 , il existe plusieurs formules de paiement d'un même bien livré en t = 1 (marché à terme)
: soit tout payer à la souscription en t = 0 , soit tout payer à la livraison en t = 1 , soit encore payer une fraction de 100τ % à la souscription et le reste à la livraison. On note respectivement π1 , π0 et πτ les montants de ces différents contrats. Soit r le taux d'intérêt prêteur et emprunteur qui prévaut entre les deux dates. Quelle relation existe t-il entre π1 et π0 ? Et entre π1 et πτ ?
3. Soit k < k' , on appelle "option papillon" un portefeuille constitué d'un call de prix d'exercice k , un call de prix d'exercice k' et de la vente de deux calls de prix d'exercice (k+k')/2 . Montrer que les paiements à date d'exercice d'une option papillon sont toujours positifs ou nuls, en déduire que son prix est toujours positif ou nul.
4. On suppose l'épargne rémunérée au taux de 3% sur 1 an, et 3,2% sur 2 ans. Les taux d'intérêt pour des emprunts de 1 an et 2 ans sont respectivement de 3,5% et 3,7% .
Expliquer comment garantir dès aujourd'hui les conditions d'un placement ou d'un emprunt d'une durée de 1 an et démarrant dans un an. Quels sont les taux d'intérêt correspondants ?
5. Que devient la relation de parité call-put si l'on distingue taux d'intérêt prêteur et emprunteur ?
6. Soit une économie à deux périodes t = 0 , 1 , et trois états de la nature en t = 1
Il y a trois actifs financiers dont la matrice des paiements contingents s'écrit
1 2 1
R = 1 3 4
1 4 7
a) Les marchés sont-ils