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THEME :
RATIONNELS ET IRRATIONNELS IRRATIONALITE DE

2

Rationnels - Irrationnels
Ensemble des nombres réels


Ensemble des nombres rationnels

π
3



Ensemble des nombres décimaux


Ensemble des entiers naturels

2

− 2

12,57

0

1 2 13 457 25

−π 3
5
1+ 5 2
Nombres irrationnels : Nombres réels non rationnels

8 2
- 0,358


-1



8 2

-2

1 41 3
7 6

Ensemble des entiers relatifs



1 -6

29 15



3 7

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs.
Un nombre rationnel peut donc s’écrire sous la forme
a avec b ≠ 0 . b

Il existe une infinité de façons d’écrire un même nombre rationnel. Par exemple : 2 4 6 - 8 2000 = = = = = ... 3 6 9 - 12 3000

Une écriture estprivilégiée. L’écriture est celle d’une fraction simplifiée appelée fraction irréductible ( le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux ). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. ( Si le dénominateur est égal à 1, ce nombre s’appelle un entier et son écriture se limite à l’écriture du numérateur .) Il existe desnombres qui ne sont pas rationnels. Ces nombres sont appelés des irrationnels. π, 2, 3, π - 1, 5 ... sont des irrationnels. 2,7

Rationnel ( adjectif )
Qui est conforme à la raison, à la logique, au bon sens. Censé, judicieux, raisonnable. Qui raisonne avec justesse (esprit rationnel) Qui appartient à la raison, qui relève de la raison.

Irrationnel ( adjectif ) Qui n'est pas rationnel, qui n'estpas conforme à la raison (anormal, fou etc.)
( Cf. THEME : Ensemble de nombres )

2

est un

irrationnel !!!

Tout est nombre. C’était la devise de la « secte » Fraternité dirigée par Pythagore. Par nombre, il faut entendre nombre entier ou nombre rationnel ( Une fraction s’écrit avec deux nombres entiers ). C’est tout d’abord dans la musique qu’il mit en évidence des rapports numériques.Pour Pythagore et ses disciples, tous les nombres existants dans la nature étaient des nombres rationnels. Et c’est dans une figure pourtant familière qu’il découvrit l’existence d’un nombre que la raison ne pouvait pas accepter. C’est le nombre 2 . Cette découverte qui devait rester secrète, fut divulguée par un de ses disciples Hippase de Métaponte ( Il périt bizarrement dans un naufrage ).Toute l’idée maitresse de la secte était remise en question. Ce fut la première révolution dans les Mathématiques.

PYTHAGORE
Calculer la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1

Solution :
Dans le triangle ABC rectangle en B , D’après le théorème de Pythagore, nous avons : AC² = AB² + BC² Soit

AC² = 1²+ 1² = 1 + 1 = 2 Donc AC = 2 2.

La diagonale d’un carré de côté 1 a une longueurégale à Cette valeur est-elle rationnelle ou irrationnelle ?

Etudier la parité d'un nombre ( entier ) , Question préliminaire : c'est déterminer si cet entier est pair ou Quelle est la parité du carré d’un nombre entier pair ? impair. Par exemple 2² = 4 ( résultat pair ) 6² = 36 ( résultat pair ) 12²= 144 ( résultat pair ) En-est-il toujours ainsi ? ( Cf. THEME : Nombre pair – Nombre impair )Propriété :
Un nombre entier élevé au carré conserve sa parité. Carré d’un nombre pair : Considérons un nombre entier pair. Ce nombre peut s’écrire 2n Nous avons : ( 2n )² = 2² x n² = 4 n² = 2 x ( 2 n² ) Ce résultat est de la forme 2 x , ( multiple de 2 ) , donc le carré reste pair. Carré d’un nombre impair : Considérons un nombre entier impair. Ce nombre peut s’écrire 2n + 1 Nous avons : ( 2n +1 )² = 4n² + 4n + 1 = 2 ( 2n² + 2n ) + 1 Ce résultat est de la forme 2 x + 1 , donc le carré reste impair. Par conséquent,si le carré d’un nombre entier est pair, alors ce nombre est pair. 2 est-il rationnel ou irrationnel ? La démonstration suivante est une démonstration par l’absurde. Supposons que 2 soit rationnel. p Il existe donc deux nombres p et q tels que : = 2 q Cette fraction...
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