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5F-6p : Chapitre 4 
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Trigonométrie |
Cours | |
I) rappels de 4ième : Mesures d’angles et cercles

1) Secteurs angulaires
[pic]
Définition: Un secteur angulaire est une région du plan bordée par les côtés d’un angle non-nul.

2) Secteurs circulaires
[pic]

3 Angles au centre
[pic]
4) Angles inscrits

[pic]
5) Unités d’amplitudes d’un anglea) Le degré

i) Historique
Les degrés ont été introduits par les babyloniens (environ 2000 ans avant J.C.) qui avaient un système de numérotation sexagésimal (base 60).Ce système a pour origine le fait qu’une année (et donc une révolution complète de la Terre autour du soleil) dure approximativement 360 jours. Ainsi le degré correspond à l’angle associé à l’arc (enassimilant la trajectoire de la Terre à un arc de cercle) décrit par la Terre en un jour.

ii) Définition
Le degré est l’amplitude d’un angle au centre qui intercepte la 360ème partie du cercle.
On note le degré par 1°.
Un degré se subdivise en 60 minutes et on note 1° = 60’
Une minute se subdivise en 60 secondes et on note 1’ = 60’’.

b)Le radian
Le radian est l’amplitude d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. On le note 1 rad

c) Périmètre d’un cercle et aire d’un disque

Le périmètre d’un cercle de rayon R est P = 2[pic]R
L’aire d’un disque de rayon R est A = [pic]R²

d) Lien entre degrés et radians

L’angle au centre en radians quiintercepte un arc de longueur R est 1 rad.
L’angle au centre en degrés qui intercepte un arc de longueur R est[pic].
Donc [pic] = 1 rad.
Donc [pic]= 1 rad.
Donc 1 rad = 57,3° = 57° 17’ 44,8’’.

L’angle complet au centre d’un cercle est de 360° ou 2[pic]rad.

Conclusion :

e) Angles particuliers en degrés et radians
Anglenul : 0° = 0 rad
Angle droit : 90° = [pic]rad
Angle plat : 180° = [pic]rad
Angle complet : 360° = 2[pic]rad

6) Mesure de l’arc et du secteur circulaire intercepté par un angle au centre d’un cercle

[pic]
360°[pic] 2[pic]R 2[pic]rad[pic] 2[pic]R
[pic]° [pic] [pic]Donc la longueur de l’arc

b) Aire d’un secteur circulaire
Un angle complet au centre intercepte un secteur circulaire dont la surface est [pic].

360°[pic] [pic]R² 2[pic]rad[pic] [pic]R²

[pic]° [pic] [pic]
Donc l’aire d’un secteur circulaire

7)Exercices : faire les exercices 1.1 , 1.2 et 1.3

II) Goniométrie ( trigonométrie )

1) Mesures
Un angle a plusieurs mesures en degré ; elles différent entre elles par un multiple de 360°.
Toutes les mesures d’un angle ( en degré s’écrivent par ( + k ×360° (k ( )
Un angle a plusieurs mesures en radian ; elles différent entre elles par un multiple de 2(.
Toutes les mesures d’un angle ( enradian s’écrivent par ( + k ×2( (k ( ).

2) Mesure principale
La mesure principale en degré est la mesure comprise dans l’intervalle ]-180°, 180°]
La mesure principale en radian est la mesure comprise dans l’intervalle ]-(,(]

Exemples : pour les angles suivants donner 2 mesures positives et 2 mesures négatives et la mesure principale
30°, 240°, –135°, –778°, 319° ; [pic]

3)Cercle goniométrique et angles orientés
Dans un repère orthonormé, le cercle goniométrique ( ou trigonométrique ) est un cercle de rayon 1 sur lequel on a choisit un point origine pour porter les angles au centre.

4) Orientation sur le cercle

5) Quadrants
On les définit comme étant les 4 quarts du cercle. On les numérote

6) Définition du sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et...
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