Synthèse de cours (Terminale ES)
Æ Loi de probabilité discrète
Loi de probabilité discrète
Définition
On considère un ensemble { x1 , x2 ,..., xn } de n valeurs réelles.
Définir une loi de probabilité discrète sur cet ensemble c’est associer à chacune des valeurs xi n une probabilité pi de telle sorte que l’on ait :

∑p i =1

i

=1.

La loi de probabilité est alors parfaitement définie par la donnée du tableau suivant : xi x1

x2

…

xn

pi

pi

p2

…

pn

Remarque : on peut considérer que l’ensemble { x1 , x2 ,..., xn } est l’ensemble des valeurs pouvant être prises par une grandeur aléatoire. On la note alors classiquement X et on l’appelle « variable aléatoire discrète ». On peut écrire : pi = p ( X = xi ) .

Espérance et variance d’une loi de probabilité discrète
L’espérance d’une loi de probabilité discrète est donnée par : n E = ∑ xi pi i =1

Si l’on utilise la notion de variable aléatoire, on pourra écrire : E = E ( X ) .
La variance d’une loi de probabilité discrète est donnée par : n V = ∑ ( xi − E ) pi
2

i =1

Avec la notion de variable aléatoire, on constate que la variance de la loi X n’est rien d’autre

que l’espérance de la variable aléatoire ( X − E ( X ) ) . C’est à dire :
2

2
V = V ( X ) = E ⎡⎢( X − E ( X ) ) ⎤⎥
⎣
⎦

PanaMaths

[1-3]

Janvier 2006

Autre expression de la variance n V = ∑ xi 2 pi − E 2 i =1

Soit encore :

( )

2
2
V = E ⎡⎢( X − E ( X ) ) ⎤⎥ = E X 2 − ( E ( X ) )
⎣
⎦

Loi de Bernoulli – Loi binomiale
Loi de Bernoulli
Définition
On appelle « expérience de Bernoulli » toute expérience aléatoire dont l’univers compte deux issues. Traditionnellement l’une est appelée « succès » et l’autre « échec ».

Remarque : les dénomination de « succès » et d’ « échec » sont historiques et ne doivent être interprétées systématiquement !
On appelle « loi de probabilité de Bernoulli » la loi de probabilité associée à une expérience de Bernoulli.