Chapitre 2 : pgcd, ppcm. th´eor`emes de gauss et bezout

7 janvier 2014

Correction contrôle de mathématiques
Du mardi 17 décembre 2013
Exercice 1
ROC et questions de cours

6 points

1) a) Théorème de Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 »
b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n :
(−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1
Il existe donc un couple (−7; 9) tel que −7a + 9b = 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n
2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. »
Démonstration :
• Si a divise le produit bc, alors il existe k ∈ Z tel que : bc = ka
• Si a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = 1
En multipliant par c, on a : acu + bcv = c or bc = ka, donc : ac + kav = c soit a(c + kv) = c.
Donc a divise c.
b) Soit (E) : 3(x − 1) = 5y
• 5 divise 3(x − 1) or pgcd(5; 3) = 1 donc d’après le théorème de Gauss, 5 divise
(x − 1). On a donc : x − 1 = 5k, k ∈ Z soit x = 1 + 5k, k ∈ Z
• En remplaçant x − 1 = 5k dans (E), on a : y = 3k

k ∈ Z.

• Comme x ∈ N et y ∈ N donc 1 + 5k 0 et 3k 0 soit k 0
L’ensemble des couples d’entiers naturels (x; y) solution de (E) sont du type :



 x = 1 + 5k k∈N 

 y = 3k
3) a) Corollaire du théorème de Bezout : « L’équation ax + by = c admet des solutions entières si, et seulement si, c est un multiple du pgcd(a, b). »
b) D’après ce corollaire :
• (E1 ) : 9x − 6y = 2 n’admet pas de solution entière car pgcd(9, 6) = 3 et 2 non multiple de 3.
• (E2 ) : 5x + 7y = 4 admet des solutions entières car pgcd(5; 7) = 1 et 4 est un multiple de 1

Exercice 2
Application du cours
1) On a :

4 points
4 935 = 517 × 9 + 282
517 = 282 × 1 + 235
282 = 235 × 1 + 47
235 = 47 × 5