´ Universite Rennes II

L2 MASS — Analyse

Feuille de TD 6
Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n

(b) (f )

n≥2

(−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n

(c) (g)

(−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n

(d) (h)

xn n≥0 cosh n n! n≥0 x .

Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries enti`res e e e 2. En d´duire le rayon de la s´rie suivante : e e 1 2n+1 − 5 5 × 3n+1 xn ,
2n+1 n 5 x

n≥0

et

−1 n n≥0 5×3n+1 x .

n≥0

puis d´terminer le comportement au bord. e 3. R´duire en ´l´ments simples la fraction rationnelle f (x) = e ee 4. En utilisant un d´veloppement en s´rie enti`re de e e e
+∞ 1 1−x 1 . 2x2 −7x+3

pour tout x ∈] − 1; 1[, d´duire que e xn ,

f (x) = n=0 2n+1 1 − 5 5 × 3n+1

en pr´cisant pour quelles valeurs de x l’´galit´ a lieu. e e e Exercice 3 D´terminer l’intervalle de convergence et la somme des s´ries enti`res suivantes : e e e (a) (d)
(n+1)(n+2) n x n! (−3)n−1 n n≥2 n(n−1) x n≥0

(b) (e)

n n n≥0 (n+1)(n+2) x 1 n n≥2 2n (n−1) x

(c) (f )

n+1 n n≥0 3n x n2 n n≥0 n! x .

Exercice 4 Donner le d´veloppement en s´rie enti`re de chacune des fonctions suivantes : e e e (a) f (x) = ln x + √ 1 + x2
1+x (b) f (x) = ln 1−x

(c) f (x) = ln(2 + x) (f ) f (x) = cos2 (x).

(d) f (x) = (1 + x)e−x

(e) f (x) =

e−x 1−x

Exercice 5 D´terminer une primitive de la fonction f : x → e en s´rie enti`re de f . e e Exercice 6

x . 9+x2

En d´duire un d´veloppement e e

1. D´terminer le rayon de convergence R de la s´rie enti`re e e e somme. 1

xn n≥2 n2 −1 .

On note S(x) sa

2. Montrer que pour tout x tel que 0 < |x| < 1, on a S(x) = 3. En d´duire que e
1 n≥2 n2 −1 3 = 4.

1 x − 2x 2

ln(1 − x) +

1 x + . 2 4

Exercice 7 Donner la somme de chacune des s´ries suivantes : e (a)
+∞ π 2n+1 n=0