Sujet Droit

Devoir de math´matiques n◦4 e

Exercice 1
Un jeu consiste ` gratter trois cases plac´es cˆte ` cˆte. Sur chacune de ces cases peut apparaˆ un et un a e o a o ıtre seul des symboles suivants : ♥ , ♦ et ♠ . On appellera ”figure” le triplet obtenu apr`s grattage. e 1. Montrer que le nombre de ”figures” possibles est de 27. (on pourra s’aider d’un arbre) 2. (a) Quel est le nombre de ”figures” o` les trois symboles sont identiques ? u (b) Quel est le nombre de ”figures” o` les trois symboles sont tous diff´rents ? u e 3. On admet que les ”figures” apparaissent avec la mˆme probabilit´. Calculer la probabilit´ de chacun des e e e e e e ´v´nements suivants (les r´sultats seront donn´s sous forme de fractions irr´ductibles) : e e – A : ”les trois cases portent le symbole ♥”; – B : ”les trois cases portent le mˆme symbole”; e – C : ”les trois cases portent des symboles tous diff´rents”; e – D : ”exactement deux des cases portent des symboles identiques”; – E : ”deux au moins des cases portent des symboles identiques”.

Exercice 2
Dans une partie du monde, on estime que 15% de la population est contamin´e par un virus X. La strat´gie de e e d´pistage met en place un test de d´pistage qui devrait ˆtre n´gatif si la personne n’est pas contamin´e et positif e e e e e si la personne est contamin´e. e On a observ´ les r´sultats suivants : e e – quand la personne est contamin´e par le virus X, le test est positif dans 99,6% des cas. e – quand la personne n’est pas contamin´e par ce virus, le test est n´gatif dans 97,6% des cas. e e 1. En consid´rant une population de 10 000 personnes observ´es, reproduire et compl´ter le tableau suivant : e e e Nombre de personnes contamin´es e Test positif Test n´gatif e Total Nombre de personnes non contamin´es e Total

10 000

Dans les questions suivantes, les probabilit´s seront donn´es ` 10−4 pr`s. Pour les questions 2, 3 et 4 on e e a e choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la mˆme