acoustique

Pages: 30 (7405 mots) Publié le: 8 janvier 2015
Avant-propos
Cet ouvrage est le fruit de quinze années d’expérience de l’enseignement de l’acoustique, d’abord à l’École nationale supérieure des télécommunications, puis à l’École
polytechnique dans le cadre de la majeure de mécanique. Son contenu, dont le champ
a été volontairement limité, est conçu comme une introduction à l’étude de la propagation libre et guidée des ondes acoustiques, aurayonnement des structures vibrantes
et à l’acoustique des salles. Le niveau de présentation correspond à celui dispensé
dans les maîtrises de physique et de mécanique des universités, ou dans les écoles
d’ingénieurs.
La présentation retenue consiste à faire alterner l’établissement des fondements
théoriques de base (ondes libres et guidées, équations du rayonnement acoustique,...)
avecl’étude détaillée d’applications concrètes sélectionnées : rayonnement de plaques,
transmission du son à travers une double paroi, étude d’une flûte,... pour ne citer que
ces quelques exemples.
L’auteur tient à remercier chaleureusement plusieurs collègues qui ont participé à
la rédaction de ce livre. Les premières versions des chapitres sur les ondes acoustiques
planes et sur l’acoustique dessalles, notamment, ont été rédigées par Jean Laroche.
Le chapitre traitant des ondes guidées doit beaucoup à l’aide de Denis Matignon et
Jean Kergomard. Enfin, les textes de plusieurs exercices ont été élaborés par l’auteur
en collaboration avec Christophe Lambourg.
Palaiseau, le 13 juillet 2001
Antoine Chaigne

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Chapitre 1

Ondes acoustiques planes
1.1

Équations fondamentales del’acoustique linéaire

Ce chapitre est inspiré des livres [1, 2] auxquels on pourra se référer pour plus de
détails.

1.1.1

Grandeurs

Outre le temps, les deux grandeurs principales en acoustique sont la pression et
la vitesse particulaire.
• La pression acoustique p(x, t) est une fonction scalaire du temps t et de la position x. Elle est définie comme l’écart de pression avec lapression atmosphérique
ambiante. On a donc p(x, t) = P (x, t) − P0 où P (x, t) représente la pression
totale (en Pa) en x et à l’instant t et P0 représente la pression ambiante au
repos. p s’exprime en Pascals, (c’est-à-dire en Newtons par mètre-carré).
• La vitesse v(x, t) au point x à l’instant t est celle d’un volume élémentaire situé
autour du point considéré. On supposera dans tout ce quisuit que v(x, t) = 0
au repos.
Une autre grandeur qui intervient est la densité du fluide, ρ(x, t), qui est aussi une
fonction du temps et de la position.
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Chapitre 1. Ondes acoustiques planes

1.1.2

Équations

Les grandeurs p(x, t), v(x, t) et ρ(x, t) sont liées par trois équations qui régissent
le comportement du fluide. Pour abréger les notations, on utilisera p au lieude p(x, t)
ainsi que pour v et ρ.

Conservation de la masse
La première équation liant v à ρ s’obtient en considérant un volume V délimité
par une surface S fermée immobile. On écrit simplement que la variation de la masse
contenue dans V est égale au flux massique vers l’intérieur du volume à travers S.
Cela s’écrit
d
dt

ρ dV
V

=−

ρv n dS

(1.1)

S

où n est un vecteurnormal à la surface orienté vers l’extérieur de V . Le signe −
provient du fait qu’un flux sortant provoque une diminution de la masse.
En utilisant le théorème de Gauss, l’Éq. (1.1) peut se réécrire
d
dt

ρ dV
V

=−

V

∇.(ρv) dV

(1.2)

où ∇.u est la divergence du vecteur u. En coordonnées cartésiennes,
∇.u =

∂ux ∂uy
∂uz
+
+
∂x
∂y
∂z

Comme l’Éq. (1.2) est vérifiéequel que soit le volume V , les deux intégrands sont
partout égaux et l’on a
∂ρ
= −∇.(ρv)
∂t

(1.3)

C’est ce que l’on appelle l’équation de conservation de la masse.

Équation d’Euler
La seconde équation, qui lie p, v et ρ provient de l’application de la relation
fondamentale de la dynamique. On considère un volume V délimité par une surface
S fermée se déplaçant avec le fluide...
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