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Pages: 21 (5171 mots) Publié le: 16 décembre 2012
BS2EL - Physique appliquée

Module : réponse d’un système linéaire

Diaporamas (2) : diagrammes de Bode, réponse Résumé de cours
1- Caractérisation d’un système physique 2- Calcul de la réponse pour une entrée donnée 3- Stabilité d’un système linéaire 4- Systèmes passe-bas 5- Réponse d’un passe-bas du 1er ordre 6- Réponse d’un passe-bas du 2ème ordre 7- Les « pôles dominants » d’un systèmeAnnexe : influence de m sur le temps de réponse et le dépassement

Exercices
Caractérisation d’un système Pôles et zéros d’une transmittance Stabilité d’un système linéaire Réponse d’un système du premier ordre Réponse d’un système du second ordre Pôles dominants Réponse d’un système d’ordre élevé Modélisation d’un moteur à courant continu

Questionnaire : la réponse d’un système linéaire enquestions

jean-philippe muller

version janvier 2008

Réponse d’un système linéaire

1) Caractérisation d’un système physique :
Un système physique quelconque ( électronique, électromécanique, pneumatique …) produit une sortie s(t) lorsqu’il est excité par un signal d’entrée e(t).

entrée e(t)

système physique

sortie s(t)

On se limite dans ce cours aux systèmes linéaires, lessystèmes étudiés ne comportent donc aucune non-linéarité comme : saturation des amplificateurs, dispositif à seuil (trigger, relais …), seuil de démarrage pour les moteurs … Il y a plusieurs façon des caractériser un système physique linéaire et de décrire sa réponse : par sa réponse s(t) à une entrée e(t) de forme donnée ( impulsion, échelon, rampe …) par son diagramme de Bode ou sa transmittancecomplexe :

T (jω)=

S(jω) E(jω)

par l’équation différentielle qui relie les grandeurs d’entrée et de sortie :

s (t ) = K .e(t ) + K 1e' (t ) + K 2 e' ' (t ) + ... + L1 s ' (t ) + L2 s ' ' (t ) + ...
par sa transmittance de Laplace

T(p)=

S(p) E(p)

par la représentation des pôles et des zéros de T(p) dans le plan complexe (diagramme des pôles et zéros) Remarque 1 : passage del’équation différentielle à T(p) et T(jω) On passe facilement de l’un à l’autre en se souvenant qu’une dérivation par rapport au temps se traduit par une multiplication par jω en complexe et par p en Laplace : v(t) v’(t) = V(jω) jω.V(jω) V(p) p.V(p)

dv(t) dt

Remarque 2 : pôles et zéros Le numérateur et le dénominateur de T(p) peuvent se factoriser :

T ( p) = K

( p − z1 )( p − z 2 )...( p− z n ) ( p − p1 )( p − p 2 )...( p − p m )

Les racines zi du numérateur : sont réelles ou complexes conjuguées s’appellent des zéros Les racines pi du dénominateur : sont réelles ou complexes conjuguées s’appellent des pôles La transmittance du système est entièrement déterminée par la constante K , les zéros zi et les pôles pi.

Réponse d’un système linéaire

2) Calcul de la réponse pourune entrée donnée : ⇒ pour une entrée sinusoïdale
Le module et l’argument de la transmittance complexe permettent de caractériser la sortie : si

e(t ) = E cos(ω 0 t )

alors

s (t ) = TE cos(ω 0 t + ϕ )

avec T : module de

T ( jω o ) ϕ : argument de T ( jω o )

⇒ pour une entrée de forme quelconque ( échelon, rampe etc …)
L’expression de la sortie s(t) pour une entrée e(t) se trouvede la manière suivante : calculer la transformée de Laplace E(p) du signal d’entrée e(t) calculer S(p) = E(p).T(p) en appliquant la transformée de Laplace inverse, calculer s(t) à partir de S(p)

Par définition, la transformée de Laplace F(p) d'une fonction f(t) s’écrit :

F ( p) = ∫ f (t ).e − pt dt
0



Propriétés de la transformée de Laplace
linéarité dérivation
ta.f1(t)+b.f2(t)

a.F1(p)+b.F2(p)

df (t ) dt

pF ( p )

intégration translation dans le temps translation en p

∫ f (t )dt
0

F ( p) p e − ap F ( p)
F ( p + a)

f (t − a )

f (t )e − at
Transformée de signaux simples

échelon impulsion de Dirac rampe exponentielle

f (t ) = U (t ) f (t ) = δ (t ) f (t ) = at

1 p
1

f (t ) = e − at

a p2 1 p+a

• •

théorème de la valeur...
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