Automatisme

Pages: 6 (1435 mots) Publié le: 12 janvier 2014
Petit cours d’automatique











Pourquoi ce cours ?
`
`
Modele d’un systeme physique
´
´
Resolution par transformee de Laplace
´
´
Reponse en frequence, spectre
´
Commande par retro-action
Commande PID
Simulation Matlab/Simulink
Commande par ordinateur
´
Transformee en Z
Simulation Matlab/Simulink

plan

Pourquoi ce cours ?
`
´
`
Les systemesembarques s’adressent a de nombreux domaines d’application et
ˆ
´
beaucoup de ces domaines traitent et controlent des donnees issues du monde
physique :
´
1. il est important de savoir comment les specialistes de ces domaines
`
´
procedent pour pouvoir cooperer avec eux ;
`
2. les ordinateurs interagissant avec les systemes physiques forment des
`
`
systemes complexes qui acquierent,par cette interaction, de nouvelles
´ ´
proprietes : des changements mineurs du point de vue informatique peuvent
´
`
avoir des consequences importantes du point de vue systeme ;
3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de
signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont
l’importance croˆt ; certains sont devenus des standards de fait(avionique,
ı
automobile, . . .). Il est important de connaˆtre et comprendre cette
ı
« informatique venue d’ailleurs »
plan

Mod` le d’un syst` me physique
e
e
Une suspension de voiture
x
..
......

r
r
¨
¨
r
k r
¨
¨
—.......
—

´
Forces en presence :
- ressort : −k(x − x0 )

f

- amortisseur : −f x
- inertie : mx

..

- force externe, pesanteur,...
´
´bilan : equation differentielle
mx + f x + kx = u
normalisation :
x + 2zwx + w2 x = w2 u
– w pulsation propre
– z amortissement
plan

R´ solution par transform´ e de Laplace
e
e


x(t)e−st dt

X(s) = L(x) =
0

´ ´
proprietes :
´
´
– linearite :
L(ax + by) = aL(x) + bL(y)
´
´
´
´
– transforme les equations differentielles en equations algebriques :
L(x ) = sL(x) − x(0)– transforme les exponentielles en fractions rationnelles :
L

plan

tn −λt
e
n!

1
=
(s + λ)n+1

Application
x + 2zwx + w2 x = w2 u ⇒ s2 X + 2zwsX + w2 X = w2 U
w2
X= 2
U
2
s + 2zws + w
Recherche de solutions :
´
ˆ
– trouver les racines du denominateur (poles)
´
´ ´
´
– decomposer en elements simples et inverser la transformee.
´
Trois cas (reponse impulsionnelle U =1) :
´
– z 2 < 1 : racines complexes conjuguees :
– z 2 = 1 : racine double
´
– z 2 > 1 : racines reelles

plan

´
– z 2 < 1 : racines complexes conjuguees :
X=

A
B


+
2
s + zw + iw 1 − z
s + zw − iw 1 − z 2
w2
w2


A=
, B=
2
−2iw 1 − z
2iw 1 − z 2

iw 1−z 2 t


−iw 1−z 2 t

w
−e
−zwt e
x= √
e
2
2i
1−z
w
e−zwt sin(w 1 − z 2 t)
x= √
1 − z2
´regime oscillant (suspension trop molle) !
– z 2 = 1 : racine double
x = w2 te−wt
´
– z 2 > 1 : racines reelles



w
−w(z+ z 2 −1)t
−w(z− z 2 −1)t
x= √
(e
−e
)
2−1
z

(suspension trop dure) !
plan

R´ ponse en fr´ quence, spectre
e
e
A la m´ moire de Joseph Fourier
e

u
U
X
X
B

= e−iwt
1
=
s + iw
1
= H
s + iw
1
= AH + B
s + iw
= H(−iw)

´
Lesexponentielles complexes sont les vecteurs propres des operateurs ;
´
H(−iw) est la valeur propre associee au vecteur propre e−iwt .

plan

Exemple de la suspension
H
H(−iw)

=

2
w0
2
s2 + 2zw0 s + w0

=

2
w0
2
−w2 − 2izw0 w + w0

´
H(−iw) est une fonction complexe de la frequence d’ excitation w Elle se
´
decompose en amplitude et phase :

|H(−iw)| =
ArgH(−iw)

2
w02
2
(w0 − w2 )2 + 4z 2 w0 w2
2zw0 w
= Arctg 2
w0 − w2

´
les pages suivantes decrivent le spectre d’amplitude en fonction de w pour
w0 = 1 et des valeurs croissantes de z 2 = 0.5, 1, 2, 4.
plan

plan

Commande par r´ tro-action
e
`
`
´
´
Le systeme a commander : grue mono-dimensionnelle, linearisee
X0

v
v
a
v
v
u
Te
v dX
e



- pesanteur : m g

-...
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