Sup Tsi

Concours blanc - Math´ematiques 2
(adapt´e de CCP 2006)

Dur´ ee : 4 heures
Les calculatrices sont autoris´ees
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Le candidat attachera la plus grande importance ` a la clart´e, ` a la pr´ecision et ` a la concision de la r´edaction. Si un candidat est amen´e ` a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e ` a prendre.
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Probl` eme Ce probl`eme comporte quatre parties. La partie A est ind´ependante des parties B, C et D.

Partie A

(R´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle) 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1 ) : xy ′ − y = ln x, d´efinie sur R∗+ .
(a) R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee.

(b) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete.
(c) Exprimer l’ensemble des solutions de l’´equation (E1 ).
(d) Pr´eciser la solution f de l’´equation (E1 ) telle que f (1) = 0.
2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E2 ) : x2 y ′′ − xy ′ + y = 1 − ln x, d´efinie sur R∗+ .

(a) D´eterminer une solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme x → xα , α ∈ R.

(b) Chercher une autre solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme y(x) = K(x)xα en donnant ` a α la valeur trouv´ee ` a la question pr´ec´edente. On montrera que K ′ v´erifie une ´equation diff´erentielle du premier ordre.
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee.
(d) V´erifier que la fonction y0 d´efinie par y0 (x) = −1 − ln x est une solution particuli`ere de l’´equation (E2 ).
(e) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (E2 ).
(f) D´emontrer que la fonction f d´efinie ` a la question 1d est l’unique solution de l’´equation
(E2 ) telle que y(1) = y ′ (1) = 0.

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Concours blanc - Math´ematiques 2
(adapt´e de CCP 2006)

Sup Tsi

Partie B

´
(Etude
de la fonction f )

On consid`ere la fonction f d´efinie