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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
Session 2010
MATHÉMATIQUES
Série S
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le sujet comporte deux annexes à rendre avec la copie.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.
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EXERCICE 1 : (6 points)
Commun à tous les candidats
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A :
On considère l’équation différentielle (E) : .
1) Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E).
2) On considère l’équation différentielle (E') : . Résoudre l’équation différentielle (E').
3) Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction est solution de l’équation différentielle (E').
4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
5) Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que .
Partie B :
On considère la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par où k est un nombre réel donné.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.
1) Montrer que la fonction admet un maximum