Baccalauréat Série S Nouvelle Calédonie - Mars 2011
Stéphane PASQUET http://www.mathweb.fr contact@mathweb.fr 1er mai 2011

Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats PARTIE A : R ESTITUTION
ORGANISÉE DE CONNAISSANCES

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g (x) = K eax où K ∈ R.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y ′ = a y + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. b 1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = − est une solution de (E). a 2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence suivante : f est solution de (E) Le f t r i g ht ar r ow f − u est solution de l’équation différentielle y ′ = a y. 3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

PARTIE B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t ) sa vitesse à l’instant t , où t est exprimé en secondes et v(t ) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation différentielle : 10v ′ (t ) + v(t ) = 30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’est-à-dire que v(0) = 0.  t  − 1. Démontrer que v(t ) = 30 1 − e 10 . 2. 3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v ′ (t ) est inférieure à 0,1 m.s−2 . Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 4. La distance d parcourue par ce cycliste entre les instants t 1 , et t 2 est donnée par d = Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes. 1 t2 t1

(b) Déterminer la limite de la fonction v en +∞.

(a) Déterminer le sens de variation de la fonction v sur