Bac maths s 2012

Pages: 6 (1279 mots) Publié le: 7 décembre 2012
Exercice 1 :
1) Vraie : Pour tout x de l’intervalle [-3 ;-1], f’(x)≤0 car la courbe C’ est en dessous de l’axe des abscisses sur cet intervalle.
2) Vraie : Selon la courbe toutes les valeurs de f’(x) sont positives sur [-1 ;2] donc f est croissante sur [-1 ;2].
3) Des questions précédentes on peut en déduire que f est décroissante entre [-3 ;-1], et croissante entre [-1 ;2]. Aussion a f(0)=-1. Donc pour x appartenant à [-1,0[ on a f(x)<-1. Donc l’affirmation est fausse.
4) On a f’(0)=1 et f(0)=-1 la tangente (T) a ainsi pour équation y=1(x-0)-1 ou encore y=x-1. Le point de coordonnées (1 ;0) vérifie bien l’équation de la tangente . Donc l’affirmation est vraie.
Exercice 2 :

b) Probabilité de survenue de l’événement E1 : P(E1 )=P(D) x PD (E1)= 0,4x0,7= 0,28
c)P(F) = 1 – P(E2) . P(E2) = P(E1) x PE1(E2)= 0,28 x 0,25= 0,07. P(F)= 1- P(E2)= 1 – 0,07= 0,93
2. a) X est la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées. On a 5 cinq candidats donc cinq épreuves identiques avec probabilité d’être recrutée p=0,07 et celle de ne pas être recrutée : q=.0,93. X suit bien une loi binomiale de paramètre n et p : n=5 et p=0,07.
b).Probabilité pour quedeux des candidats soient retenus : P(X=2)= (52)(0,07)2 x (0,93)2 = 0,039.
3) Soit n le nombre minimum de dossier.
Soit p(Z) avec Z la variable aléatoire pour le nombre de candidats embauchés de paramètres n et p=0,07.
On veut avoir P(Z ≥1)>0,999
On pose : 1-p(Z=0) > 0,999
→ 1-(n0) x (0,070) x (0,93n) <0,999
→1-0,93n< 0,999
→0,93n <1-0,999
→0,93n <0,001
→ln(0,93n)<ln(0,001)
→nln(0,93)<ln(0,001)
→n> ln(0,001)/ln(0,93) →n>95,186
Il faut que le cabinet traite un minimum de 96 pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soir supérieur à 0,999.
Exercice 3 :
PARTIE A :
1)fx=1x+1+ ln⁡(xx+1)= 1x+1+ ln⁡(xx1+1x)= 1x+1+ ln⁡(11+1x)
limx→+∞x+1=+∞ Donc limx→+∞=1x+1= 0+
limx→+∞1x=0+ Donc limx→+∞11+1x=1 etlimx→+∞ln11+1x=ln1=0
Ce qui donne : limx→+∞f(x)=0
2)f’(x) = -1(X+1)2 +1x+1-1.x (X+1)2xx+1
F’(x)= -1 (X+1)2 + 1 (X+1)2xx+1x=-x+x+1xx+12
Et pour finir on a :f’(x)= 1xx+12
X | 1 +∞ |
F’(x) | + |
F(x) | 0 ↗12-ln2 |
3) A partir du tableau de variationon a : f(x) ≤0 sur [1 ; +∞ [
PARTIE B :
1) Pour i=1 : u=0 u→u+11 ce qui donne u= 1
Pour i=2 : u=1 u→1+12 ce qui donne u= 1+12
Pour i=3 : u=1+ 12 u→1+12 +13 ce qui donne u= 1+12 +13 =116
2) Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Initialisation : Affecter à u la valeur 0
Traitement : Pour i variant de 1 à n : affecter à u la valeur u +1i – ln(n)Sortie : afficher u
3) Selon les résultats fournis par l’algorithme, u est décroissante.
PARTIE C :
1) un-1 - un= 1+12….+1n+1n+1 - ln(n+1) - 1+12+….+1n - ln(n)
=1n+1 - ln(n+1) + ln(n)= 1n+1 + ln(nn+1)
=f(n)
A la question A-3 on avait f(x) ≤ 0 sur [1, +∞ [ donc f(n) ≤ 0 sur [1, +∞ [
Ce qui donne un-1 - un≤ 0 → un-1 ≤ un : un est décroissante.
2)a ) k appartient à [1,+∞ [ et 0 ≤ k ≤ x ≤ k+1.
En particulier, on a : k ≤ x donc 1k ≥1x → 1k -1x≥ 0
Avec k<k+1 on a kk+11k-1xdx≥ 0
On peut aussi déduire kk+11kdx-kk+11xdx≥ 0
kk+11kdx≥kk+11xdx
Soit : kk+11xdx≤1kxkk+1= k+1k - kk = k+1-kk =1k
En fin de compte on a : kk+11xdx≤1k
b) Pour k=1 : ln2-ln1 ≤1
Pour k=2 : ln3-ln2 ≤12
Pour k=3 : ln4-ln3 ≤13
Pour k=n-1 :ln(n)-ln(n-1) ≤1n-1
Pour k=n : ln(n+1)-ln(n) ≤1n En additionnant on obtient :
Ln(n+1) ≤1+ 12 + 13 +…..+1n
C) Sur N* : n≤n+1 donc ln(n) ≤ln(n+1) et donc ln(n) ≤ln(n+1) ≤1+ 12 + 13 +…..+1n
Soit : 1+ 12 + 13 +…..+1n - ln(n) ≥ 0 Donc finalement on peut écrire :Un≥ 0 pour n dans N*
3)Au niveau de la question c-1 on a Un décroissante sur N* ,en 2-c Un est minorée par 0
Donc Un...
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