1ER S

DEVOIR MAISON N°13

CORRECTION

Exercice 1 :

3. a) X ∈ {2; −1} . P( X = 2) = Pn '( A) = 10(n − 5) . n(n − 1)

n 2 − n − 10n + 50 n(n − 1) 2 n − 11n + 50 D’où P( X = −1) = n(n − 1) E ( X ) = 2 P ( X = 2) − P ( X = −1) P( X = −1) = 1 − P( X = 2) = 20(n − 5) n 2 − 11n + 50 E( X ) = − n(n − 1) n(n − 1) − n 2 + 31n − 150 . n(n − 1) b) pour que le jeu soit équitable, il faut résoudre E ( X ) = 0 ⇔ − n 2 + 21n − 150 = 0 calculez ∆ etc… E( X ) =
Exercice 2 : 2u + v 2 1. u1 = 0 0 = ; 3 3 u0 + 2v0 4 2u + v 8 = ; u2 = 1 1 = ; v1 = 3 3 3 9

v2 =

u1 + 2v1 10 = . 3 9

2. a) d n+1 = vn +1 − un +1 =

un + 2vn 2un + vn −u + v d − . = n n = n . La suite (d n ) est une suite géométrique de raison 3 3 3 3

1 et de premier terme d 0 = 2 . 3

1 b) on a alors d n = d 0 × q n = 2 ×   . (relation fonctionnelle des suites géométriques). 3 2 4 8 10 3. a) s0 = u0 + v0 = 2 ; s1 = u1 + v1 = + = 2 ; s2 = u2 + v2 = + = 2 . 3 3 9 9 2un + vn un + 2vn 3un + 3vn sn +1 = un +1 + vn +1 = + = un + vn = sn . 3 3 3 On en déduit que la suite ( sn ) est constante, et ∀n ∈ ℕ, sn = 2 .

n

  1 n d n = vn − un  2 ×   = −un + vn 4. on obtient le système (S) :  d’inconnues un et vn , essayez de le résoudre. ⇔   3  sn = un + vn 2 = u + v n n 

Exercice 3 : 2. on se place dans un triangle rectangle, dont l’hypoténuse vaut R, un des côtes r et le troisième h : r2 R 2 = r 2 + h 2 ⇔ h 2 = R 2 − r 2 ⇔ h 2 = R 2 (1 − 2 ) ⇔ h 2 = R 2 (1 − k 2 ) ⇔ h = R 2 1 − k 2 = R 1 − k 2 R
(R étant positif,

R 2 = R = R ).

3. le volume du cône est V =

1 π r 2h π r 2 R 1 − k 2 r Abase × h = = . Or k = ⇔ r = Rk . 3 3 3 R

D’où …. 4. a) on sait que si u est une fonction positive, les fonctions u et u ont le même sens de variations. Utilisez ce théorème pour la justification demandée. b) étudiez le sens de variation de la fonction V², et donc dérivez la… Exercice 4 : On notera J l’événement « la réponse données est juste ». On obtient l’arbre ci-dessous :

X ∈ {6;3;