Nous pouvons ainsi obtenir le 3ème terme de la suite : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Il est évident que l’on peut aussi obtenir une suite où la raison sera négative comme :
{9, 7, 5, 3, 1}
Dans cette suite le premier terme est le dernier terme de la suite précédente.

Si r > 0 la suite est croissante
Si r < 0 la suite est décroissante
Si r = 0 la suite est constante ou stationnaire

*Somme d’une suite arithmétique

Exemple : Pour obtenir la somme des 1000 premiers nombres entiers à partir de 1 on peut remarquer la chose suivante :
On peut écrire la somme de cette façon en notant S la somme :

S = 1 + 2 + 3 + …+ 999 + 1000

+ 998) + …+ ( 1000 + 1 )

Soit,

2S = 1001 + 1001 + … + 1001

Soit,

2S = (1001). (1000)

Soit,

EMBED Equation.3

Cet exemple permet de montrer que pour calculer une somme arithmétique on a besoin du 1er terme, du dernier terme et du nombre de terme.
La formule générale de la somme se calcule ainsi :

EMBED Equation.3

*Remarque : Termes équidistants des extrémités d’une suite

En plaçant les termes d’une suite arithmétique sur un axe horizontal il est possible d’identifier un terme donné.

Soit EMBED Equation.3 ce terme. Il est situé à p-1 termes de EMBED Equation.3 .
Si l’on souhaite trouver un terme équidistant de l’autre extrémité EMBED Equation.3 de la suite, il doit se situer lui aussi à p-1 terme.

Par conséquent si l’on prend r comme raison pour progresser de EMBED Equation.3 à EMBED Equation.3 , pour progresser de EMBED Equation.3 à EMBED Equation.3 la raison sera de –r.

Ce terme équidistant de l’autre extrémité sera donc EMBED Equation.3
De ce fait on peut expliciter les formule de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3

En effectuant la somme des deux expressions on obtient :

EMBED Equation.3

La somme de termes équidistants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.

Exemple : pour la suite {1, 3, 5, 7,