Terminale S

2012/2013

Devoir maison n°3
Exercice n°1 : Soit la suite (u n ) définie par u 0=−2 et pour tout n∈ℕ 1 u n+1= un +3 2 Partie A : 1) Ecrire un algorithme qui calcule et affiche les k premiers termes de de la suite (u n ) 2) Donner les premiers termes de cette suite jusqu’à u 10 . Quelles conjectures pouvez vous faire pour cette suite ? Partie B : 1) Démontrer que la suite (u n ) est majorée par 6. 2) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. 3) Que peut-on en conclure quant à la convergence de la suite (u n ) ? Justifier. Partie C : Soit (v n ) la suite définie par : pour tout n∈ℕ de 1) Montrer que (v n ) est une suite géométrique. 1 n 2) En déduire que pour tout n∈ℕ , u n=6−8( ) 2 3) Etudier alors la limite de la suite (u n ) . Partie D : Soit S n=u0 +u1 +...+u n 1) Déterminer l'expression de S Exercice n°2 : On considère l’équation :(E) z 3 −( 4+i) z 2 +(13+4i)z −13i=0 où z est un nombre complexe. a. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. b et c tels que, pour tout nombre complexe b. Déterminer les nombres réels a , 3 2 z on ait : z −(4+i) z +(13+4i) z −13i=( z −i)(az 2+bz +c). c. En déduire les solutions de l’équation (E) d. Placer les solutions dans un repère (0 ; ⃗ , ⃗ i j) Exercice n°3 : Restitution organisée de connaissances z a. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si ̄=− z . z b. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si ̄= z. c. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : z ̄=∣z∣2 z . Exercice n°4 : z Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z=i z +2 ̄ +1 soit : a)un imaginaire pur b) un nombre réel.

v n =u n−6 .

en fonction de n .