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Exo7

Espaces vectoriels
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La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s’agit de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents.
Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l’agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux espaces de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion d’espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente de travail ! Il est bon d’avoir d’abord étudié le chapitre « L’espace vectoriel Rn ».

1. Espace vectoriel (début)
Dans ce chapitre, K désigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réels R.

1.1. Définition d’un espace vectoriel
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u + v (ou u − v) et aussi afin que l’on puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u. Voici la définition formelle :
Définition 1
Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :
– d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E × E dans E :
E×E →
(u, v) →

E u+v – d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K × E dans E

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