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11347 mots
46 pages
c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSIEspaces vectoriels et applications linéaires
Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés sont en réalité vrais pour un corps K quelconque
— à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries.
La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes, les anneaux et les corps, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de spé. C’est parti !
La théorie mathématique des espaces vectoriels s’appelle l’algèbre linéaire.
Revoyez impérativement votre cours sur les systèmes linéaires du chapitre
« Ensembles de nombres et calculs algébriques ».
Espaces vectoriels et combinaisons linéaires
1
1.1
Espaces vectoriels
Définition (Espace vectoriel) On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet (E, +, ·) vérifiant les propriétés suivantes :
– (E, +) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0E ou 0 et appelé le vecteur nul de E,
– · est une application de K × E dans E : à partir d’un réel λ et d’un élément x de E, · fournit un nouvel élément de
E noté λ · x ou plus simplement λx. Par définition, cette application · doit satisfaire les propriétés suivantes :
— pour tout x ∈ E :
1 · x = x,
— pour tous x, y ∈ E et λ ∈ K :
λ · (x + y) = (λ · x) + (λ · y),
— pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K :
(λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x),
— pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K :
λ · (µ · x) = (λµ) · x.
Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des