Chapitre2

Pages: 16 (3812 mots) Publié le: 18 mars 2011
Chapitre

2

M´thodes d’analyse statistique multivari´e e e

La plupart des ph´nom`nes abord´s dans ce manuscrit font intervenir de grands volumes e e e de donn´es mesur´es suivant plusieurs variables (le temps, l’espace, et ´ventuellement la e e e fr´quence). Il est donc normal de recourir ` des m´thodes d’analyse statistique multivari´e e a e e pour r´duire d’une part et caract´riser lesr´sultats obtenus d’autre part. e e e Nous aborderons dans ce chapitre deux types de techniques, utiles ` la caract´risation de a e tels volumes de donn´es : e e e – les m´thodes de d´composition (ou de projection) ; – les m´thodes de classification. e Les m´thodes de d´composition (ou de projection) que nous utiliserons ont pour objectif e e de d´composer, et ainsi de r´duire, un jeu de donn´esquelconque en une s´rie de “modes” e e e e (ou composantes) qui en d´crivent les propri´t´s principales. La diff´rence entre les m´thodes e ee e e ´voqu´es dans ce chapitre est li´e aux hypoth`ses intrins`ques de chacune. e e e e e Le fruit de ces d´compositions peut nous apporter de nouvelles informations sur la phye sique sous-jacente du syst`me ´tudi´. Il est cependant souvent utile de franchirune ´tape e e e e suppl´mentaire, en les compl´tant avec des m´thodes de classification qui regroupent les e e e donn´es ´tudi´es en classes qui, dans certains cas, aident ` identifier les processus physiques. e e e a

2.1

Les m´thodes de d´composition e e

Pour illustrer ces diff´rentes m´thodes, nous prendrons ici pour exemple un champ scalaire, e e suppos´ sans bruit, repr´sentant unecomposante du champ magn´tique terrestre mesur´e en e e e e un nombre fini de localisations g´ographiques r ` la surface de la Terre pendant un temps t. e a 2.1.1 La d´composition en modes propres e

Consid´rant le champ magn´tique B(r,t), nous savons que chaque composante est le e e ´ r´sultat d’une superposition lin´aire de termes diff´rents (cf. Equation 1.1) : B(r,t) = e e e e e e k Bk (r,t), chaquecontribution Bk est engendr´e par une source du champ g´omagn´tique total (cf. Chapitres 1 et 3, Annexe A). La s´paration aveugle de sources (Comon, 1990; Starck et al., 1998) se r´f`re au probl`me e ee e de la restitution de signaux sources Bk ` partir des mesures du champ lorsque ces derni`res a e refl`tent des m´langes (ou superpositions) de signaux sources inconnus. Le qualificatif aveugle e e 10

2 M´thodes d’analyse statistique multivari´e e e

est introduit dans le mesure o` les statistiques des signaux sources ainsi que les mod`les de u e leurs m´langes sont inconnus. e Il existe divers mod`les math´matiques ou physiques de m´langes de sources, qui d´pendent e e e e g´n´ralement des applications : mod`le instantan´, mod`le convolutif ou mod`le spectral (Lae e e e e e coume etal., 1997; Servi`re et al., 1996). Dans le cadre de ce manuscrit, nous nous limiterons e a ` un mod`le de m´langes instantan´, n´gligeant ainsi les effets de propagation des processus e e e e physiques en jeu. Notre hypoth`se fondamentale est de supposer que chaque contribution du champ Bk (ou e chaque distribution de courant qui en est ` l’origine) est fixe dans l’espace mais peut varier a enamplitude dans le temps. Ceci s’´crit, en notation math´matique, de la mani`re suivante : e e e

B(r,t) =
k

uk (t)vk (r)

(2.1)

Une telle d´composition est loin d’ˆtre unique, et il faut donc lui adjoindre une contrainte e e ` (ou hypoth`se) suppl´mentaire pour obtenir une solution unique. A chaque hypoth`se est e e e associ´e une m´thode sp´cifique. e e e 2.1.2 Premi`re hypoth`se :l’orthogonalit´ e e e

La SVD Dans un premier temps, nous supposerons que les modes spatiaux vk (r) et temporels uk (t) sont mutuellement orthogonaux, ce qui revient ` ´crire : ae 0 Bkk = Bk si k = l si k = l

uk , ul = vk , vl = Bkl δkl =

(2.2)

o` .,. d´signe le produit scalaire et Bk = A2 . Cette condition d’orthogonalit´ exprime u e e k la d´corr´lation entre les modes spatiaux ou temporels...
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