Chapitre6 Colinearit Des Vecteurs Plus Coordonn Es

Pages: 5 (844 mots) Publié le: 1 mai 2015
chapitre 6 vecteurs et repérages.
I Quelques rappels.
définition :
→
un vecteur non nul u est caractérisé par :
............................................................
............................................................
............................................................
→

le vecteur u se représente à partir d’un ...................... par le vecteur ........ où B estle translaté de A par la
...................... de ............................ : on note ........ = .........
→

tracer le vecteur AB

→

la direction du vecteur
u est ................................
→
le sens du vecteur u →
est ........................................
la norme du vecteur u est ........................................................................................................................

→

u

A
+

ADDITION DE DEUX VECTEURS
→

→

→

soient u et →
v deux vecteurs.
→
la somme de u et de v peut être représentée de deux façons :
« bout
à bout
» → →
→
→
= AB →
et v →
= BC→ →
si u →
alors u + v = AB + BC = AC (relation de Chasles)

u

→

v

« à→
l’aide→
d’un parallélogramme
»
→
→
si u →
= OM→
et v →
= ON→ →alors u + v = OM + ON = OR où OMRN est un parallélogramme.
→

→

Le vecteur nul noté 0→est le vecteur AA,
pour tout→
point→
A. →
→
u est
le vecteur
v tel que u + v = 0 c’est à dire
L’opposé
du vecteur
→
→
→
→
→
→
si u = AB alors v = - AB = BA = - u
B

EGALITE DE DEUX VECTEURS
Soient
A, B, C et D des points du plan.
→
→
AB = CD <=> ABDC est un parallélogramme.
<=> lessegments [AD] et [BC] ont même milieu.
→

→

AB = BC <=> B est le milieu du segment [AC]

A
C
+

II multiplication d’un vecteur par un réel.
définition :
→
soit un vecteur u non nul.
soit k un nombre réel.
→
→
soient A et B deux points tels que : AB = u .
→

→

on appelle produit du vecteur u →
par le nombre k. le vecteur noté k u tel
que :
→
si k > 0 alors le vecteur k u a mêmedirection, même sens que u et a pour longueur k.AB

→

u

→

k u
→

→

si k < 0 alors le vecteur k u a même direction, et de sens contraire à u et a pour longueur -k.AB
→

u

→

k u

→

→

si k = 0 alors le vecteur k u est le vecteur 0 .
remarques :
→
→
→
si k→
= -1 →
alors k u = - u est le vecteur
opposé
à
u .
→
→
si u = 0 alors pour tout réel k, k u = 0 .
propriété:
→
→
quels que soient les nombres réels a et b et les vecteurs u et v non nuls.
→

→

→

a) a u →
+ b u →
= (a + b) u →
→
ex: 2 u + 3 u = (2 + 3) u = 5 u
→

→

= (ab) u
b) a(b u )→
→
→
ex: 3(5 u ) = (3×5) u = 15 u
→

→

→

→

= a u +→
a v →
c) a( u +→v ) →
ex : 3( u + v ) = 3 u + 3 v

III colinéarité
définition :
→
→
→
→
deux vecteurs non nulsu et v sont colinéaires s’il existe un réel k non nul tel que : u = k v .
→

→

→

exemple
: soient
u , →
v et w trois vecteurs non nuls tels que :
→
→
→
v = 3 u →
et w→
= -5 u
→
→
on a que u et v sont colinéaires et que u et w sont colinéaires.

→

u

→

v

→

w

conséquences :
deux vecteurs colinéaires ont même direction.
Applications :
1) parallélisme
Théorème :
→→
deux droites (AB) et (MN) sont parallèles <=> les vecteurs AB et MN sont colinéaires.
2) alignement
Théorème :
→
→
trois points distincts A, B et C alignés sont alignés <=> les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

IV Repérage dans le plan.
1) repère et coordonnées
définition :
un repere du plan est determiné :
par trois points O, I et J non alignés
J
on le note (O; I, J)
O

I

ou

→

→par un point O et deux vecteurs i et j non colinéaires.
→

j

→

→

on le note (O; i , j )
→

O

i

définition :
→

→

dans un repère (O; i , j ), un point M a pour coordonnées (x ; y) ; x est l’abscisse de M, y est l’ordonnée
de M
y

M

→

j

→

x

i

→

→

→

on a OM = x i + y j
→
→
→
c’est à dire que les vecteurs OM apour coordonnées dans le repère (O; i , j )...
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