Faut-il courir sous la pluie pour éviter d'être mouillé ?
Question qui peut paraître stupide a priori, car il est évident que si l'on reste sur place on va être trempé, alors que si on va à la vitesse de la lumière jusqu'à un abri, on va être très peu mouillé. Oui, mais...Chacun sait que si l'on va vite, on prend plus de gouttes dans la figure. Si l'on considère un trajet de longueur d à parcourir sous la pluie, y a-t-il une vitesse optimale pour parcourir ce trajet ?
On peut modéliser la pluie par des gouttes uniformément distribuées tombant verticalement à la vitesse V0 (on verra comment traiter le cas d'une pluie ``penchée'') avec une densité de  gouttes par mètre cube. L'infortuné promeneur sera modélisé par un parallèlepipède rectangle de dimensions h, L et l, animé d'un mouvement rectiligne uniforme horizontal de vitesse v. La largeur l n'ayant aucun rôle à jouer par la suite, on peut considérer que la figure en 2 dimensions ci-dessous résume la situation :

Pour calculer le nombre de gouttes que reçues par unité de temps, il est plus simple de changer de référentiel pour se placer dans celui du promeneur. Dans son propre référentiel, il a une vitesse nulle et reçoit des gouttes animées de la vitesse U=V0-v (somme vectorielle). En une unité de temps, le marcheur reçoit sur la tête toutes les gouttes contenues dans le volume de largeur l basé sur le parallèlogramme ABEF.

ou en 3 d (merci à Pierre Philippot pour cette illustration) :
L'aire du parallèlogramme ABEF est L*U*sin(ABE), où U est la norme du vecteur U. Mais l'angle ABE est égal à l'angle formé par les vecteurs U et -v. Le triangle d'addition des vitesses nous montre que le sinus de cet angle vaut V0/U. Le promeneur reçoit donc par unité de temps : dN1/dt=*l*L*V0 gouttes sur la tête. De même, pour trouver le nombre de gouttes reçues de face, il faut calculer l'aire de ACGF. Comme le sinus de l'angle ACG est égal à v/U, on trouve : dN2/dt= *l*h*v
La durée totale du parcours