CHAPITRE 2
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel ou calcul symbolique qui facilite la résolution des équations différentielles linéaires qui représenteront les systèmes que nous allons étudier.

1- TRANSFORMATION DE LAPLACE 1-1-Définition s    j , une variable complexe; l’expression :


Soit f(t) une fonction a valeur réelle ou complexe de la variable réelle t définie de  0 à  [ et soit

L f (t )   F s    e st f t dt
0

s’appelle la transformation de Laplace unilatérale.

1-2-Ordre exponentiel
On dira qu’une fonction f(t) est d’ordre exponentiel à l’infini si et seulement si, il existe un couple de nombres réels et M tel que :

f (t )  Met , t  0
1-3-Existence de la Transformation de Laplace
Soit f(t) une fonction continue par morceau sur l’intervalle fermé [0, a] (pour tout a>0) et ayant un ordre t exponentiel à l’infini tel que f (t )  Me ; alors, la transformation de Laplace L(f) existe et est définie pour s   .

1-4-Unicité de la Transformation de Laplace
Soient f(t), et g(t), deux fonctions Supposons que: continues par morceaux avec un ordre exponentiel à l’infini.

L f (t )   L( g (t ))
Alors f (t)=g(t) pour

t  0, D





, pour tout D > 0, sauf peut être en un nombre fini de points.

9

Exemple 1: Si f (t)=1, alors L(f(t) L1 e  st dt  1 .



0

s

Dans cet exemple,